ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 33.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение \( \sqrt{2x + 2\sqrt{x^2 — y^2}} \), если \( x \ge y > 0 \).

Рассмотрим выражение \( \sqrt{2x + 2\sqrt{x^2 — y^2}} \).

Вынесем 2 под корень: \( \sqrt{2(x + \sqrt{x^2 — y^2})} \).

Пусть \( \sqrt{x + \sqrt{x^2 — y^2}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \).

Тогда \( a + b = x \) и \( 2\sqrt{ab} = \sqrt{x^2 — y^2} \).

Из этого следует \( ab = \frac{x^2 — y^2}{4} \).

Решая систему, находим \( a = \frac{x + y}{2} \), \( b = \frac{x — y}{2} \).

Подставляем обратно:
\( \sqrt{x + \sqrt{x^2 — y^2}} = \sqrt{\frac{x + y}{2}} + \sqrt{\frac{x — y}{2}} \).

Умножая на \( \sqrt{2} \), получаем
\( \sqrt{2x + 2\sqrt{x^2 — y^2}} = \sqrt{x + y} + \sqrt{x — y} \).

1. Рассмотрим выражение \( \sqrt{2x + 2\sqrt{x^2 — y^2}} \), при условии \( x \ge y > 0 \).

2. Вынесем общий множитель 2 под корнем:
\( \sqrt{2x + 2\sqrt{x^2 — y^2}} = \sqrt{2 \left(x + \sqrt{x^2 — y^2}\right)} \).

3. Представим выражение \( x^2 — y^2 \) в виде разности квадратов:
\( x^2 — y^2 = (x — y)(x + y) \).

4. Подкоренное выражение примет вид:
\( \sqrt{2 \left(x + \sqrt{(x — y)(x + y)}\right)} \).

5. Предположим, что
\( \sqrt{x + \sqrt{(x — y)(x + y)}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \),
где \( a \ge 0 \), \( b \ge 0 \).

6. Возведём в квадрат обе части:
\( x + \sqrt{(x — y)(x + y)} = a + b + 2\sqrt{ab} \).

7. Приравняем части:
\( a + b = x \),
\( 2\sqrt{ab} = \sqrt{(x — y)(x + y)} \).

8. Возведём второе равенство в квадрат:
\( 4ab = (x — y)(x + y) = x^2 — y^2 \).

9. Решим систему:
\( a + b = x \),
\( ab = \frac{x^2 — y^2}{4} \).

10. Найдём \( a \) и \( b \) как корни квадратного уравнения
\( t^2 — x t + \frac{x^2 — y^2}{4} = 0 \).

Дискриминант:
\( D = x^2 — 4 \cdot \frac{x^2 — y^2}{4} = x^2 — (x^2 — y^2) = y^2 \).

Корни:
\( t = \frac{x \pm y}{2} \).

Так как \( x \ge y > 0 \), выбираем:
\( a = \frac{x + y}{2} \),
\( b = \frac{x — y}{2} \).

11. Подставляем обратно:
\( \sqrt{x + \sqrt{x^2 — y^2}} = \sqrt{\frac{x + y}{2}} + \sqrt{\frac{x — y}{2}} \).

12. Итоговое выражение:
\( \sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{\frac{x + y}{2}} + \sqrt{\frac{x — y}{2}}\right) = \sqrt{x + y} + \sqrt{x — y} \).

Ответ:
\( \sqrt{2x + 2\sqrt{x^2 — y^2}} = \sqrt{x + y} + \sqrt{x — y} \).