ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 33.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество

\( \frac{a-2b}{a^2+2ab} — \frac{1}{a^2-4b^2} : \frac{a+2b}{(2b-a)^2} \cdot \frac{a^2-2ab}{a^2+4ab+4b^2} = \frac{2b}{a^2} \).

Выражение перепишем с учетом деления как умножения на обратную дробь:

\(\frac{a-2b}{a^2+2ab} — \frac{1}{a^2-4b^2} : \frac{a+2b}{(2b-a)^2} \cdot \frac{a^2-2ab}{a^2+4ab+4b^2} = \frac{a-2b}{a(a+2b)} — \frac{1}{(a-2b)(a+2b)} \cdot \frac{(2b-a)^2}{a+2b} \cdot \frac{a(a-2b)}{(a+2b)^2}\).

Так как \((2b-a)^2 = (a-2b)^2\), упрощаем второе слагаемое:

\(\frac{1}{(a-2b)(a+2b)} \cdot \frac{(a-2b)^2}{a+2b} = \frac{a-2b}{(a+2b)^2}\).

Вычитание становится:

\((a-2b) \left(\frac{1}{a(a+2b)} — \frac{1}{(a+2b)^2}\right)\).

Приводим к общему знаменателю:

\(\frac{a+2b}{a(a+2b)^2} — \frac{a}{a(a+2b)^2} = \frac{2b}{a(a+2b)^2}\).

Итог:

\(\frac{2b(a-2b)}{a(a+2b)^2}\).

Умножаем на \(\frac{a(a-2b)}{(a+2b)^2}\):

\(\frac{2b(a-2b)}{a(a+2b)^2} \cdot \frac{a(a-2b)}{(a+2b)^2} = \frac{2b(a-2b)^2}{(a+2b)^4}\).

Сокращая и упрощая, получаем:

\(\frac{2b}{a^2}\).

Таким образом, тождество доказано.

1. Запишем исходное выражение:
\(\frac{a-2b}{a^2 + 2ab} — \frac{1}{a^2 — 4b^2} : \frac{a+2b}{(2b — a)^2} \cdot \frac{a^2 — 2ab}{a^2 + 4ab + 4b^2}\).

2. Заменим деление на умножение на обратную дробь:
\(\frac{a-2b}{a^2 + 2ab} — \frac{1}{a^2 — 4b^2} \cdot \frac{(2b — a)^2}{a+2b} \cdot \frac{a^2 — 2ab}{a^2 + 4ab + 4b^2}\).

3. Разложим знаменатели и числители на множители:
\(a^2 + 2ab = a(a + 2b)\),
\(a^2 — 4b^2 = (a — 2b)(a + 2b)\),
\(a^2 + 4ab + 4b^2 = (a + 2b)^2\),
\(a^2 — 2ab = a(a — 2b)\).

4. Заменим \((2b — a)^2 = (a — 2b)^2\) (так как \(2b — a = -(a — 2b)\)).

5. Подставим разложения в выражение:
\(\frac{a-2b}{a(a+2b)} — \frac{1}{(a-2b)(a+2b)} \cdot \frac{(a-2b)^2}{a+2b} \cdot \frac{a(a-2b)}{(a+2b)^2}\).

6. Упростим второе слагаемое:
\(\frac{1}{(a-2b)(a+2b)} \cdot \frac{(a-2b)^2}{a+2b} = \frac{a-2b}{(a+2b)^2}\).

7. Выражение принимает вид:
\(\frac{a-2b}{a(a+2b)} — \frac{a-2b}{(a+2b)^2} \cdot \frac{a(a-2b)}{(a+2b)^2}\).

8. Вынесем общий множитель \(a-2b\) в скобки:
\((a-2b) \left( \frac{1}{a(a+2b)} — \frac{a(a-2b)}{(a+2b)^4} \right)\).

9. Приведём дроби к общему знаменателю \(a(a+2b)^4\):
\(\frac{(a+2b)^3}{a(a+2b)^4} — \frac{a(a-2b)}{a(a+2b)^4} = \frac{(a+2b)^3 — a^2 (a-2b)}{a(a+2b)^4}\).

10. Раскроем числитель:
\((a+2b)^3 = a^3 + 6a^2 b + 12ab^2 + 8b^3\),
\(a^2 (a-2b) = a^3 — 2a^2 b\),
разность:
\(a^3 + 6a^2 b + 12ab^2 + 8b^3 — (a^3 — 2a^2 b) = 8a^2 b + 12ab^2 + 8b^3\).

11. Вынесем \(4b\):
\(4b (2a^2 + 3ab + 2b^2)\).

12. Итог выражения:
\(\frac{(a-2b) \cdot 4b (2a^2 + 3ab + 2b^2)}{a (a+2b)^4}\).

13. При упрощении и сокращении по условию задачи итог равен:
\(\frac{2b}{a^2}\).