ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 34.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Пусть \(A\) и \(B\) — несовместные события некоторого испытания с ненулевыми вероятностями. Могут ли события \(A\) и \(B\) быть независимыми?

Если события \(A\) и \(B\) несовместны, то \(A \cap B = \emptyset\), значит \(P(A \cap B) = 0\).

Для независимых событий должно быть \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\).

Так как \(P(A) \neq 0\) и \(P(B) \neq 0\), то \(P(A) \cdot P(B) \neq 0\).

Получаем противоречие, значит \(A\) и \(B\) не могут быть одновременно несовместными и независимыми.

1. Пусть события \(A\) и \(B\) несовместны. Это значит, что они не могут произойти одновременно. Тогда пересечение этих событий пустое множество, то есть \(A \cap B = \emptyset\).

2. По определению вероятности пересечения несовместных событий получаем \(P(A \cap B) = P(\emptyset) = 0\).

3. Если события \(A\) и \(B\) независимы, то по определению независимости выполняется равенство \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\).

4. По условию у нас \(P(A) \neq 0\) и \(P(B) \neq 0\). Значит произведение вероятностей \(P(A) \cdot P(B) \neq 0\).

5. Из пункта 2 знаем, что \(P(A \cap B) = 0\), а из пункта 3 — \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\).

6. Подставляем значения: \(0 = P(A) \cdot P(B)\).

7. Но так как \(P(A) \cdot P(B) \neq 0\), получаем противоречие.

8. Значит предположение о том, что события \(A\) и \(B\) одновременно несовместны и независимы, неверно.

9. Следовательно, несовместные события с ненулевыми вероятностями не могут быть независимыми.

10. Итог: если \(A\) и \(B\) несовместны и \(P(A) \neq 0\), \(P(B) \neq 0\), то \(A\) и \(B\) зависимы.