ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 34.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение \(\sqrt{\frac{x+4}{4}} + \sqrt{x} + \sqrt{\frac{x+4}{4}} — \sqrt{x}\).

1. Рассмотрим выражение под корнем: \(x^2 — 8x + 16\).

2. Заметим, что это квадрат двучлена, так как \(x^2 — 8x + 16 = (x — 4)^2\).

3. Тогда выражение под корнем можно переписать как \(\frac{(x — 4)^2}{16}\).

4. Извлечём корень из дроби: \(\sqrt{\frac{(x — 4)^2}{16}} = \frac{\sqrt{(x — 4)^2}}{\sqrt{16}}\).

5. Корень из квадрата равен абсолютному значению: \(\sqrt{(x — 4)^2} = |x — 4|\).

6. Корень из 16 равен 4, то есть \(\sqrt{16} = 4\).

7. Подставим найденные значения: \(\frac{|x — 4|}{4}\).

8. Таким образом, исходное выражение упрощается до \(\frac{|x — 4|}{4}\).

9. Проверим область определения: знаменатель не равен нулю, значит \(x \neq 0\).

10. Итоговый ответ: \(\frac{|x — 4|}{4}\).

1. В начале рассмотрим выражение под корнем: \(x^2 — 8x + 16\). Чтобы упростить это выражение, нужно понять, можно ли представить его в виде квадрата какого-то двучлена. Для этого вспомним формулу полного квадрата: \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). В нашем случае \(a = x\), а \(b = 4\), потому что \(2 \cdot x \cdot 4 = 8x\) и \(4^2 = 16\). Значит, выражение \(x^2 — 8x + 16\) можно переписать как \((x — 4)^2\). Это очень важный шаг, так как позволяет упростить корень из сложного многочлена до корня из квадрата.

2. Теперь подставим это в исходное выражение под корнем: \(\frac{(x — 4)^2}{16}\). Корень из дроби равен дроби из корней, то есть \(\sqrt{\frac{(x — 4)^2}{16}} = \frac{\sqrt{(x — 4)^2}}{\sqrt{16}}\). Корень из квадрата числа равен абсолютному значению этого числа, потому что корень всегда неотрицателен. Значит, \(\sqrt{(x — 4)^2} = |x — 4|\). Корень из 16 равен 4, так как \(4^2 = 16\). Таким образом, выражение под корнем упрощается до \(\frac{|x — 4|}{4}\).

3. Важно помнить, что абсолютное значение \( |x — 4| \) означает расстояние от числа \(x\) до числа 4 на числовой оси. Это гарантирует, что результат всегда неотрицательный, что соответствует свойствам квадратного корня. Также необходимо проверить область определения исходного выражения. В знаменателе стоит число 16, которое не равно нулю, но если в исходном задании есть другие выражения с переменной в знаменателе, нужно исключить значения, при которых знаменатель будет равен нулю. В данном случае, если исходное выражение было именно \(\sqrt{\frac{x^2 — 8x + 16}{16}}\), то \(x\) может принимать любые значения, так как знаменатель 16 — постоянное число. Итоговый ответ с учётом всех преобразований и ограничений: \(\frac{|x — 4|}{4}\).