ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 34.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что \(p_{\overline{B}}(A) = 0,4\), \(p_{\overline{A}}(B) = 0,7\) и \(p(A \cap B) = 0,2\). Найдите:

1) \(p(A)\);

2) \(p(B)\);

3) \(p(A \cup B)\).

Дано: \(p_{\overline{B}}(A) = 0,4\), \(p_{\overline{A}}(B) = 0,7\), \(p(A \cap B) = 0,2\).

Обозначим \(p(A) = x\), \(p(B) = y\).

\(p(A \mid \overline{B}) = \frac{p(A \cap \overline{B})}{p(\overline{B})} = 0,4\), значит \(p(A \cap \overline{B}) = 0,4(1 — y)\).

Тогда \(x = p(A) = p(A \cap B) + p(A \cap \overline{B}) = 0,2 + 0,4(1 — y) = 0,2 + 0,4 — 0,4 y =\)
\(= 0,6 — 0,4 y\).

\(p(B \mid \overline{A}) = \frac{p(B \cap \overline{A})}{p(\overline{A})} = 0,7\), значит \(p(B \cap \overline{A}) = 0,7(1 — x)\).

Тогда \(y = p(B) = p(A \cap B) + p(B \cap \overline{A}) = 0,2 + 0,7(1 — x) = 0,2 + 0,7 — 0,7 x =\)
\(= 0,9 — 0,7 x\).

Решаем систему:

\(x = 0,6 — 0,4 y\)

\(y = 0,9 — 0,7 x\)

Подставляем \(y\) в первое уравнение:

\(x = 0,6 — 0,4 (0,9 — 0,7 x) = 0,6 — 0,36 + 0,28 x = 0,24 + 0,28 x\)

\(x — 0,28 x = 0,24\)

\(0,72 x = 0,24\)

\(x = \frac{0,24}{0,72} = \frac{1}{3} \approx 0,333\)

Подставляем \(x\) во второе уравнение:

\(y = 0,9 — 0,7 \times \frac{1}{3} = 0,9 — \frac{7}{30} = \frac{27}{30} — \frac{7}{30} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \approx 0,667\)

Находим \(p(A \cup B) = x + y — p(A \cap B) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} — 0,2 = 1 — 0,2 = 0,8\)

Ответ:

1) В условии задачи нам дано значение условной вероятности \(p_{\overline{B}}(A) = 0,4\). По определению условной вероятности вероятность события \(A\) при условии, что событие \(B\) не произошло, равна отношению вероятности совместного наступления событий \(A\) и \(\overline{B}\) к вероятности события \(\overline{B}\). То есть, по формуле: \(p(A \mid \overline{B}) = \frac{p(A \cap \overline{B})}{p(\overline{B})} = 0,4\). Здесь \(p(\overline{B})\) — вероятность противоположного события к \(B\), то есть \(1 — p(B)\). Отсюда можно выразить вероятность пересечения: \(p(A \cap \overline{B}) = 0,4 \times (1 — p(B))\).

Обозначим вероятность события \(A\) через \(x\), а вероятность события \(B\) — через \(y\). Тогда у нас есть выражение для \(p(A \cap \overline{B})\) в виде \(0,4 (1 — y)\), что позволит связать вероятности \(x\) и \(y\) в дальнейшем.

2) Вероятность события \(A\) можно представить как сумму вероятностей двух несовместных событий: \(A\) произошло вместе с \(B\), и \(A\) произошло вместе с \(\overline{B}\). Математически это записывается так: \(p(A) = p(A \cap B) + p(A \cap \overline{B})\). Из условия задачи известно, что \(p(A \cap B) = 0,2\). Подставляя выражение для \(p(A \cap \overline{B})\), получаем: \(x = 0,2 + 0,4 (1 — y) = 0,2 + 0,4 — 0,4 y = 0,6 — 0,4 y\).

Таким образом, мы получили первое уравнение, связывающее \(x\) и \(y\).

3) Далее, нам известно значение другой условной вероятности: \(p_{\overline{A}}(B) = 0,7\). Это вероятность события \(B\) при условии, что событие \(A\) не произошло. По определению: \(p(B \mid \overline{A}) = \frac{p(B \cap \overline{A})}{p(\overline{A})} = 0,7\). Здесь \(p(\overline{A}) = 1 — p(A) = 1 — x\). Следовательно, вероятность пересечения \(p(B \cap \overline{A}) = 0,7 \times (1 — x)\).

4) Аналогично \(p(B)\) можно представить как сумму вероятностей двух несовместных событий: \(B\) произошло вместе с \(A\), и \(B\) произошло вместе с \(\overline{A}\). То есть: \(p(B) = p(A \cap B) + p(B \cap \overline{A})\). Из условия известно \(p(A \cap B) = 0,2\), а \(p(B \cap \overline{A})\) мы выразили ранее. Подставим: \(y = 0,2 + 0,7 (1 — x) = 0,2 + 0,7 — 0,7 x = 0,9 — 0,7 x\).

Получили второе уравнение, связывающее \(x\) и \(y\).

5) Теперь у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными:

\(x = 0,6 — 0,4 y\)

\(y = 0,9 — 0,7 x\)

Для решения системы подставим выражение для \(y\) из второго уравнения в первое. Получим: \(x = 0,6 — 0,4 (0,9 — 0,7 x) = 0,6 — 0,36 + 0,28 x = 0,24 + 0,28 x\).

6) Упростим уравнение, перенесем слагаемые с \(x\) в одну часть: \(x — 0,28 x = 0,24\), что дает \(0,72 x = 0,24\). Теперь разделим обе части уравнения на 0,72, чтобы найти \(x\): \(x = \frac{0,24}{0,72} = \frac{1}{3} \approx 0,333\).

7) Подставим найденное значение \(x = \frac{1}{3}\) во второе уравнение для \(y\): \(y = 0,9 — 0,7 \times \frac{1}{3} = 0,9 — \frac{7}{30} = \frac{27}{30} — \frac{7}{30} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \approx 0,667\).

Таким образом, вероятность события \(A\) равна примерно 0,333, а вероятность события \(B\) — примерно 0,667.

8) Наконец, найдем вероятность объединения событий \(A\) и \(B\), используя формулу вероятности объединения двух событий: \(p(A \cup B) = p(A) + p(B) — p(A \cap B)\). Подставим найденные значения: \(p(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} — 0,2 = 1 — 0,2 = 0,8\).

Это означает, что вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий \(A\) или \(B\), равна 0,8. Такой результат логичен, учитывая, что оба события имеют значительные вероятности, а их пересечение составляет 0,2.