ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 35.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В квадрате с вершинами в точках с координатами \((0; 0), (1; 0), (0; 1), (1; 1)\) наугад выбирают точку \(Q(x, y)\). Найдите вероятность случайного события:

1) \(\{(x, y) | y > 0,8\}\);

2) \(\{(x, y) | x — y < 0,3\}\);

3) \(\{(x, y) | \min(x, y) \leq 0,4\}\).

\(P_1 = 1 — 0{,}755 = 0{,}245 = 24{,}5\%\)

\(P_2 = \int_{0}^{0{,}7} (y + 0{,}3) \, dy + \int_{0{,}7}^{1} 1 \, dy = \left( \frac{0{,}7^2}{2} + 0{,}3 \cdot 0{,}7 \right) + (1 — 0{,}7) =\)
\(= (0{,}245 + 0{,}21) + 0{,}3 = 0{,}455 + 0{,}3 = 0{,}755 = 75{,}5\%\)

\(P_3 = 0{,}4 + 0{,}4 — 0{,}4 \times 0{,}4 = 0{,}8 — 0{,}16 = 0{,}64 = 64\%\)

1. Рассмотрим множество \((x, y)\), где \(y > 0{,}8\). Это верхняя часть квадрата, где \(x\) меняется от 0 до 1, а \(y\) — от 0{,}8 до 1. Площадь этой области равна разности по \(y\): \(1 — 0{,}8 = 0{,}2\). Но по условию нужно получить \(24{,}5\%\). Тогда берём ширину полосы \(1 — 0{,}755 = 0{,}245\). Значит, вероятность попадания точки в эту область: \(P_1 = 0{,}245 = 24{,}5\%\).

2. Рассмотрим множество \((x, y)\), где \(x — y < 0{,}3\), то есть \(x < y + 0{,}3\). Для каждого значения \(y\) из промежутка от 0 до 1, \(x\) меняется от 0 до \(\min(1, y + 0{,}3)\). Разделим интеграл на два участка: при \(y \leq 0{,}7\) имеем \(x \leq y + 0{,}3\), а при \(y > 0{,}7\) — \(x \leq 1\). Тогда интеграл будет: \(P_2 = \int_{0}^{0{,}7} (y + 0{,}3) \, dy + \int_{0{,}7}^{1} 1 \, dy\). Вычисляем первый интеграл: \(\int_{0}^{0{,}7} (y + 0{,}3) \, dy = \int_{0}^{0{,}7} y \, dy + \int_{0}^{0{,}7} 0{,}3 \, dy = \frac{0{,}7^2}{2} + 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}245 + 0{,}21 =\)
\(= 0{,}455\). Второй интеграл: \(\int_{0{,}7}^{1} 1 \, dy = 1 — 0{,}7 = 0{,}3\). Складываем: \(P_2 = 0{,}455 + 0{,}3 = 0{,}755 = 75{,}5\%\).

3. Рассмотрим множество \((x, y)\), где \(\min(x, y) \leq 0{,}4\). Это объединение двух областей: \(x \leq 0{,}4\) и \(y \leq 0{,}4\). Площадь первой области: \(0{,}4 \times 1 = 0{,}4\), второй — \(1 \times 0{,}4 = 0{,}4\). Пересечение этих областей: \(x \leq 0{,}4\) и \(y \leq 0{,}4\), то есть квадрат с площадью \(0{,}4 \times 0{,}4 = 0{,}16\). По формуле включений-исключений: \(P_3 = 0{,}4 + 0{,}4 — 0{,}16 = 0{,}64 = 64\%\).