ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 35.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На координатную плоскость случайным образом бросают монету радиуса \(\frac{1}{4}\). Какова вероятность того, что она пересечёт одну из прямых вида \(y = k\) или \(x = k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)?

Пусть центр монеты попадает в квадрат размером \(1 \times 1\). Чтобы монета не пересекла линию, её центр должен находиться на расстоянии больше \(\frac{1}{4}\) от всех сторон квадрата, то есть внутри квадрата размером \(1 — 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\).

Площадь этого квадрата равна \((\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\).

Тогда вероятность того, что монета пересечёт линию, равна \(1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).

1. Рассмотрим один квадрат сетки размером \(1 \times 1\). Центр монеты может попасть в любую точку этого квадрата. Площадь всех возможных положений центра равна \(1\).

2. Чтобы монета не пересекла ни одну из линий сетки, её центр должен находиться на расстоянии не менее \(\frac{1}{4}\) от каждой стороны квадрата. Значит, внутри большого квадрата выделяется меньший квадрат, у которого каждая сторона короче на \(2 \cdot \frac{1}{4}\), то есть его сторона равна \(1 — 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\).

3. Площадь этого меньшего квадрата равна \((\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\).

4. Вероятность того, что монета не пересечёт ни одной линии, равна отношению площадей: \(\frac{1}{4}\).

5. Тогда вероятность того, что монета пересечёт хотя бы одну линию, равна \(1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).