ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 35.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В куб поместили другой куб со стороной, в два раза меньшей стороны данного куба. Какова вероятность того, что наугад выбранная в большем кубе точка попадёт в меньший куб?

Объём большого куба равен \(a^3\). Пусть сторона меньшего куба равна \(s\). Тогда вероятность попасть в меньший куб равна \(\frac{s^3}{a^3} = \frac{1}{2}\). Отсюда \(s^3 = \frac{a^3}{2}\), значит \(s = a \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2}}\). Таким образом, сторона меньшего куба равна \(a\) умножить на кубический корень из \(\frac{1}{2}\), и вероятность попадания равна \(\frac{1}{2}\).

Объём большого куба равен \(a^3\), где \(a\) — длина его стороны. Это значит, что если мы возьмём любой куб с длиной стороны \(a\), то количество пространства внутри него, то есть объём, будет равно \(a\), умноженному на себя три раза, то есть \(a \times a \times a = a^3\). Когда мы выбираем случайную точку внутри этого куба, вероятность того, что она попадёт в какую-то часть этого куба, равна отношению объёма этой части к объёму всего куба.

Пусть внутри большого куба находится меньший куб, сторона которого равна \(s\). Тогда объём меньшего куба будет равен \(s^3\), так как объём куба вычисляется как длина стороны в третьей степени. Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка из всего большого куба попадёт именно в меньший куб, нужно разделить объём меньшего куба на объём большого. То есть вероятность равна \(\frac{s^3}{a^3}\).

Если вероятность попадания в меньший куб равна \(\frac{1}{2}\), то это означает, что объём меньшего куба составляет половину объёма большого куба. Значит, \(\frac{s^3}{a^3} = \frac{1}{2}\). Отсюда следует, что \(s^3 = \frac{a^3}{2}\). Чтобы найти сторону меньшего куба \(s\), нужно извлечь кубический корень из обеих частей равенства: \(s = a \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2}}\). Это показывает, что сторона меньшего куба меньше стороны большого, но не в два раза, а примерно в \(0.7937\) раза, потому что кубический корень из \(\frac{1}{2}\) примерно равен 0,7937. Таким образом, если сторона меньшего куба равна \(a \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2}}\), то вероятность попасть в него случайной точкой внутри большого куба будет ровно \(\frac{1}{2}\).