ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 35.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В квадрате со стороной 3 наугад выбирают точку. Какова вероятность того, что расстояние от выбранной точки до ближайшей стороны квадрата не превышает 1?

Пусть сторона квадрата равна 1, тогда его площадь равна 1.

Если точка находится на расстоянии больше \(a\) от всех сторон, она лежит внутри квадрата со стороной \(1 — 2a\), его площадь \((1 — 2a)^2\).

Площадь области, где расстояние до ближайшей стороны не превышает \(a\), равна \(1 — (1 — 2a)^2\).

Вероятность выбрать точку из этой области: \(1 — (1 — 2a)^2 = \frac{1}{2}\).

Решаем уравнение: \((1 — 2a)^2 = \frac{1}{2}\).

\(1 — 2a = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

\(2a = 1 — \frac{1}{\sqrt{2}}\).

\(a = \frac{1}{2} \left(1 — \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\).

Пусть сторона исходного квадрата равна 1, тогда его площадь равна 1. Рассмотрим точку внутри этого квадрата. Требуется найти такое значение \(a\), что вероятность того, что точка окажется на расстоянии не более \(a\) от ближайшей стороны квадрата, равна \(\frac{1}{2}\). Для этого определим геометрическую область, в которую попадает точка, удовлетворяющая этому условию.

Если точка находится на расстоянии не более \(a\) от ближайшей стороны квадрата, то она лежит в полосе шириной \(a\) вдоль каждой стороны. Внутри квадрата останется меньший квадрат, каждая сторона которого удалена на \(a\) от соответствующей стороны исходного квадрата. Длина стороны этого внутреннего квадрата равна \(1 — 2a\), так как по \(a\) отнимается с каждой стороны. Площадь внутреннего квадрата равна \((1 — 2a)^{2}\). Тогда площадь области, где точка находится на расстоянии не более \(a\) от ближайшей стороны, равна разности площадей исходного и внутреннего квадрата: \(1 — (1 — 2a)^{2}\).

Вероятность попасть в эту область определяется отношением её площади к площади всего квадрата, то есть \(1 — (1 — 2a)^{2}\). По условию задачи эта вероятность равна \(\frac{1}{2}\), поэтому составляем уравнение: \(1 — (1 — 2a)^{2} = \frac{1}{2}\). Решим это уравнение: \((1 — 2a)^{2} = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\). Извлекаем корень: \(1 — 2a = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Тогда \(2a = 1 — \frac{1}{\sqrt{2}}\), откуда \(a = \frac{1}{2} \left(1 — \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\).

Ответ: \(a = \frac{1}{2} \left(1 — \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\). Такое значение \(a\) обеспечивает, что вероятность попасть в нужную область будет ровно \(\frac{1}{2}\).