ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 35.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На окружности с центром в точке \(O\) отметили точки \(A\) и \(B\) так, что прямая \(AB\) не содержит точку \(O\). На этой же окружности случайным образом выбирается точка \(C\). Найдите вероятность того, что хорда \(BC\) пересекает диаметр, проходящий через точку \(A\).

Вероятность равна \(\frac{1}{2}\)

1. Пусть дана окружность с центром \(O\), на ней отмечены точки \(A\) и \(B\), причём прямая \(AB\) не проходит через центр \(O\). Через точку \(A\) проводится диаметр \(AA’\).

2. На окружности случайным образом выбирается точка \(C\). Требуется найти вероятность того, что хорда \(BC\) пересечёт диаметр \(AA’\).

3. Диаметр \(AA’\) делит окружность на две равные дуги. Пусть точка \(B\) лежит на одной из дуг.

4. Хорда \(BC\) пересекает диаметр \(AA’\) тогда и только тогда, когда точки \(B\) и \(C\) лежат по разные стороны от диаметра.

5. Возможные положения точки \(C\) — это вся окружность. Но чтобы хорда \(BC\) пересекала диаметр, точка \(C\) должна лежать на дуге, противоположной той, где находится \(B\).

6. Длина дуги, противоположной точке \(B\), составляет ровно половину всей окружности.

7. Следовательно, вероятность того, что точка \(C\) попадёт на нужную дугу, равна \(\frac{1}{2}\).

8. Таким образом, искомая вероятность равна \(\frac{1}{2}\).