ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 35.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В прямоугольнике со сторонами 5 и 7 наугад выбирают точку. Какова вероятность того, что расстояние от выбранной точки до всех сторон прямоугольника окажется меньше 4?

Площадь всего прямоугольника равна \(5 \times 7 = 35\).

Точка должна находиться так, чтобы до всех сторон было меньше 4, то есть по горизонтали \(1 < x < 4\), по вертикали \(3 < y < 4\).

Площадь подходящей области: \((4 — 1) \times (4 — 3) = 3 \times 1 = 3\).

Искомая вероятность: \(\frac{3}{35}\).

1. Найдём площадь всего прямоугольника. Его длина равна 5, ширина равна 7, поэтому площадь равна \(5 \times 7 = 35\).

2. Пусть точка имеет координаты \( (x, y) \), где \(0 < x < 5\) и \(0 < y < 7\).

3. По условию, расстояние от точки до всех сторон должно быть меньше 4. Это означает, что точка должна находиться не дальше 4 единиц от каждой стороны.

4. Для стороны \(x = 0\) получаем \(x < 4\), для стороны \(x = 5\) имеем \(5 — x < 4\), то есть \(x > 1\). Значит, по оси \(x\) точка должна находиться в промежутке \(1 < x < 4\).

5. Для стороны \(y = 0\) получаем \(y < 4\), для стороны \(y = 7\) имеем \(7 — y < 4\), то есть \(y > 3\). Значит, по оси \(y\) точка должна находиться в промежутке \(3 < y < 4\).

6. Таким образом, подходящая область — это прямоугольник с \(1 < x < 4\) и \(3 < y < 4\).

7. Найдём его площадь: по оси \(x\) длина отрезка \(4 — 1 = 3\), по оси \(y\) длина отрезка \(4 — 3 = 1\). Площадь подходящей области равна \(3 \times 1 = 3\).

8. Вероятность того, что случайная точка попадёт в эту область, равна отношению площадей: \(\frac{3}{35}\).