ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 35.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В квадрате с вершинами в точках с координатами \((0; 0), (1; 0), (0; 1), (1; 1)\) наугад выбирают точку \(Q(x; y)\). Для случайных событий \(A = \{(x; y) | x < 0,4\}\) и \(B = \{(x; y) | y > 0,7\}\) докажите равенство \(p(A \cap B) = p(A)p(B)\).

Дано: \(A = \{(x, y) : x < 0{,}4\}\), \(B = \{(x, y) : y > 0{,}7\}\).

Площадь квадрата: \(1 \cdot 1 = 1\).

\(P(A) = \frac{0{,}4 \cdot 1}{1} = 0{,}4\)

\(P(B) = \frac{1 \cdot 0{,}3}{1} = 0{,}3\)

\(P(A \cap B) = \frac{0{,}4 \cdot 0{,}3}{1} = 0{,}12\)

\(P(A) \cdot P(B) = 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12\)

\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)

1. Рассмотрим квадрат с вершинами \((0, 0)\), \((1, 0)\), \((1, 1)\), \((0, 1)\). Площадь квадрата равна \(1\).

2. Событие \(A\) — это когда \(x < 0{,}4\). Тогда возможные точки лежат в прямоугольнике с длиной по \(x\) равной \(0{,}4\) и по \(y\) равной \(1\). Площадь этой области: \(0{,}4 \cdot 1 = 0{,}4\). Значит, \(P(A) = \frac{0{,}4}{1} = 0{,}4\).

3. Событие \(B\) — это когда \(y > 0{,}7\). Тогда возможные точки лежат в прямоугольнике с длиной по \(y\) равной \(1 — 0{,}7 = 0{,}3\) и по \(x\) равной \(1\). Площадь этой области: \(1 \cdot 0{,}3 = 0{,}3\). Значит, \(P(B) = \frac{0{,}3}{1} = 0{,}3\).

4. Событие \(A \cap B\) — это когда одновременно \(x < 0{,}4\) и \(y > 0{,}7\). Тогда возможные точки лежат в прямоугольнике с длиной по \(x\) равной \(0{,}4\), по \(y\) равной \(0{,}3\). Площадь этой области: \(0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12\). Значит, \(P(A \cap B) = \frac{0{,}12}{1} = 0{,}12\).

5. Проверим независимость: \(P(A) \cdot P(B) = 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12\).

6. Получили: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\).