ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 35.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В квадрате с вершинами в точках с координатами \((0; 0), (1; 0), (0; 1), (1; 1)\) наугад выбирают точку \(Q(x; y)\). Для случайных событий \(A = \{(x; y) | x > 0,5\}\) и \(B = \{(x; y) | y < 0,3\}\) докажите равенство \(p(A \cap B) = p(A)p(B)\).

\(A = \{(x, y) \mid x > 0{,}5\}\)

\(B = \{(x, y) \mid y < 0{,}3\}\)

\(A \cap B = \{(x, y) \mid x > 0{,}5,\, y < 0{,}3\}\)

\(p(A) = \frac{0{,}5}{1} = 0{,}5\)

\(p(B) = \frac{0{,}3}{1} = 0{,}3\)

\(p(A \cap B) = \frac{0{,}5 \times 0{,}3}{1} = 0{,}15\)

\(p(A)p(B) = 0{,}5 \times 0{,}3 = 0{,}15\)

\(p(A \cap B) = p(A)p(B)\)

1. Рассмотрим квадрат с вершинами \((0,0), (1,0), (0,1), (1,1)\). Площадь квадрата равна \(1 \times 1 = 1\).

2. Событие \(A\) — точка попала в правую половину квадрата, то есть \(x > 0{,}5\). Ширина этой области \(1 — 0{,}5 = 0{,}5\), высота \(1\). Площадь области \(A\) равна \(0{,}5 \times 1 = 0{,}5\). Тогда вероятность \(p(A) = \frac{0{,}5}{1} = 0{,}5\).

3. Событие \(B\) — точка попала в нижнюю полосу квадрата, то есть \(y < 0{,}3\). Ширина этой области \(1\), высота \(0{,}3\). Площадь области \(B\) равна \(1 \times 0{,}3 = 0{,}3\). Тогда вероятность \(p(B) = \frac{0{,}3}{1} = 0{,}3\).

4. Событие \(A \cap B\) — точка одновременно в правой половине и нижней полосе квадрата, то есть \(x > 0{,}5\) и \(y < 0{,}3\). Ширина этой области \(0{,}5\), высота \(0{,}3\). Площадь области \(A \cap B\) равна \(0{,}5 \times 0{,}3 = 0{,}15\). Тогда вероятность \(p(A \cap B) = \frac{0{,}15}{1} = 0{,}15\).

5. Вычислим произведение вероятностей: \(p(A)p(B) = 0{,}5 \times 0{,}3 = 0{,}15\).

6. Получаем, что \(p(A \cap B) = p(A)p(B)\).