ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 36.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(\frac{x + 4}{x — 4} = \frac{x + 8}{x — 8};\)

2) \(\frac{x — 1}{x + 1} + \frac{x — 2}{x + 2} + \frac{x — 3}{x + 3} + \frac{x — 4}{x + 4} =\)
\(= 0;\)

\(\frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1} + \frac{x^2 + 8x + 20}{x + 4} = \frac{x^2 + 4x + 6}{x + 2} + \frac{x^2 + 6x + 12}{x + 3}.\)

\( \frac{x+4}{x-4} = \frac{x+8}{x-8} \)
\( (x+4)(x-8) = (x+8)(x-4) \)
\( x^2 — 8x + 4x — 32 = x^2 — 4x + 8x — 32 \)
\( x^2 — 4x — 32 = x^2 + 4x — 32 \)
\( -4x = 4x \)
\( -8x = 0 \)
\( x = 0 \)

\( \frac{x-1}{x+1} + \frac{x-2}{x+2} + \frac{x-3}{x+3} + \frac{x-4}{x+4} = 0 \)
\( \frac{(x-1)(x+2)(x+3)(x+4) + (x-2)(x+1)(x+3)(x+4) + (x-3)(x+1)(x+2)(x+4) + (x-4)(x+1)(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)} = 0 \)
\( x = -1; x = -2; x = -3; x = -4 \)
\( x = 0 \)

\( \frac{x^{2}+2x+2}{x+1} + \frac{x^{2}+8x+20}{x+4} = \frac{x^{2}+4x+6}{x+2} + \frac{x^{2}+6x+12}{x+3} \)
\( \frac{x^{2}+2x+2}{x+1} + \frac{x^{2}+8x+20}{x+4} — \frac{x^{2}+4x+6}{x+2} — \frac{x^{2}+6x+12}{x+3} = 0 \)
\( x = -3; x = -4 \)

1.
Преобразуем уравнение:
\( \frac{x+4}{x-4} = \frac{x+8}{x-8} \)

Переносим всё в одну сторону:
\( \frac{x+4}{x-4} — \frac{x+8}{x-8} = 0 \)

Приводим к общему знаменателю:
\( \frac{(x+4)(x-8) — (x+8)(x-4)}{(x-4)(x-8)} = 0 \)

Раскрываем скобки:
\( (x+4)(x-8) = x^2 — 8x + 4x — 32 = x^2 — 4x — 32 \)
\( (x+8)(x-4) = x^2 — 4x + 8x — 32 = x^2 + 4x — 32 \)

Вычитаем:
\( x^2 — 4x — 32 — (x^2 + 4x — 32) = x^2 — 4x — 32 — x^2 — 4x + 32 = -8x \)

Получаем:
\( \frac{-8x}{(x-4)(x-8)} = 0 \)

Числитель равен нулю:
\( -8x = 0 \)
\( x = 0 \)

2.
Преобразуем уравнение:
\( \frac{x-1}{x+1} + \frac{x-2}{x+2} + \frac{x-3}{x+3} + \frac{x-4}{x+4} = 0 \)

Приведём к общему знаменателю:
\( (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) \)

Запишем числитель:
\( (x-1)(x+2)(x+3)(x+4) + (x-2)(x+1)(x+3)(x+4) + (x-3)(x+1)(x+2)(x+4) + (x-4)(x+1)(x+2)(x+3) \)

Подставим \( x = 0 \):
\( (-1)(2)(3)(4) + (-2)(1)(3)(4) + (-3)(1)(2)(4) + (-4)(1)(2)(3) \)
\( (-1) \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = -24 \)
\( (-2) \cdot 1 \cdot 3 \cdot 4 = -24 \)
\( (-3) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 4 = -24 \)
\( (-4) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = -24 \)

Сумма:
\( -24 + (-24) + (-24) + (-24) = -96 \)

Подставим \( x = -1 \):
\( (-2)(1)(2)(3) + (-3)(0)(2)(3) + (-4)(0)(1)(3) + (-5)(0)(1)(2) \)
В каждом слагаемом есть множитель 0, значит сумма равна 0.
Аналогично для \( x = -2 \), \( x = -3 \), \( x = -4 \).

Ответ:
\( x = 0 \), \( x = -1 \), \( x = -2 \), \( x = -3 \), \( x = -4 \)

3.
Преобразуем уравнение:
\( \frac{x^{2}+2x+2}{x+1} + \frac{x^{2}+8x+20}{x+4} = \frac{x^{2}+4x+6}{x+2} + \frac{x^{2}+6x+12}{x+3} \)

Переносим всё в одну сторону:
\( \frac{x^{2}+2x+2}{x+1} + \frac{x^{2}+8x+20}{x+4} — \frac{x^{2}+4x+6}{x+2} — \frac{x^{2}+6x+12}{x+3} = 0 \)

Приведём к общему знаменателю:
\( (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) \)

Запишем числитель:
\( (x^{2}+2x+2)(x+2)(x+3)(x+4) + (x^{2}+8x+20)(x+1)(x+2)(x+3) — (x^{2}+4x+6)(x+1)(x+3)(x+4) — (x^{2}+6x+12)(x+1)(x+2)(x+4) \)

Подставим \( x = -3 \):
\( (-3)^{2} + 2 \cdot (-3) + 2 = 9 — 6 + 2 = 5 \)
Знаменатель: \( -3+1 = -2 \)
\( \frac{5}{-2} + \frac{(-3)^{2}+8 \cdot (-3)+20}{-3+4} = \frac{9-24+20}{1} = 5 \)
\( \frac{5}{-2} + 5 = -2.5 + 5 = 2.5 \)
Правая часть:
\( \frac{(-3)^{2}+4 \cdot (-3)+6}{-3+2} = \frac{9-12+6}{-1} = \frac{3}{-1} = -3 \)
\( \frac{(-3)^{2}+6 \cdot (-3)+12}{-3+3} = \frac{9-18+12}{0} \)
Деление на ноль, \( x = -3 \) — корень.

Аналогично для \( x = -4 \):
\( (-4)^{2}+2 \cdot (-4)+2 = 16-8+2=10 \)
Знаменатель: \( -4+1 = -3 \)
\( \frac{10}{-3} + \frac{(-4)^{2}+8 \cdot (-4)+20}{0} \)
Деление на ноль, \( x = -4 \) — корень.

Ответ:
\( x = -3 \), \( x = -4 \)