ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 38.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Случайная величина \(y\) равна количеству школьников на очередном занятии математического кружка. Известно, что \(p(y = k) = ak^2\) для всех \(k = 4, 5, 6, 7, 8\). Найдите математическое ожидание количества школьников на занятии математического кружка.

\(p(y=k)=ak^2\)
\(a(4^2+5^2+6^2+7^2+8^2)=1\)
\(a(16+25+36+49+64)=1\)
\(a \cdot 190=1\)
\(a=\frac{1}{190}\)

\(\mathbb{E}(y)=\sum_{k=4}^{8}k \cdot p(y=k)=a(4^3+5^3+6^3+7^3+8^3)\)
\(4^3=64,\ 5^3=125,\ 6^3=216,\ 7^3=343,\ 8^3=512\)
\(4^3+5^3+6^3+7^3+8^3=64+125+216+343+512=1260\)
\(\mathbb{E}(y)=\frac{1}{190}\cdot1260=\frac{1260}{190}=\frac{126}{19}\)

1. Пусть случайная величина \(y\) — количество школьников на занятии. Из условия задачи: вероятность того, что на занятии будет \(k\) человек, равна \(p(y=k)=a k^2\), где \(k=4,5,6,7,8\).

2. Сумма всех вероятностей равна 1:
\(p(y=4)+p(y=5)+p(y=6)+p(y=7)+p(y=8)=1\)

3. Подставим формулы:
\(a \cdot 4^2 + a \cdot 5^2 + a \cdot 6^2 + a \cdot 7^2 + a \cdot 8^2 = 1\)

4. Посчитаем квадраты:
\(4^2=16,\ 5^2=25,\ 6^2=36,\ 7^2=49,\ 8^2=64\)

5. Сложим:
\(16+25+36+49+64=190\)

6. Получаем уравнение:
\(a \cdot 190=1\)

7. Найдём \(a\):
\(a=\frac{1}{190}\)

8. Математическое ожидание вычисляется по формуле:
\(\mathbb{E}(y)=\sum_{k=4}^{8}k \cdot p(y=k)\)

9. Подставим значения:
\(\mathbb{E}(y)=4 \cdot a \cdot 4^2 + 5 \cdot a \cdot 5^2 + 6 \cdot a \cdot 6^2 + 7 \cdot a \cdot 7^2 + 8 \cdot a \cdot 8^2\)

10. Это то же самое, что
\(\mathbb{E}(y)=a(4^3+5^3+6^3+7^3+8^3)\)

11. Посчитаем кубы:
\(4^3=64,\ 5^3=125,\ 6^3=216,\ 7^3=343,\ 8^3=512\)

12. Сложим:
\(64+125+216+343+512=1260\)

13. Подставим найденное значение \(a\):
\(\mathbb{E}(y)=\frac{1}{190}\cdot1260\)

14. Сократим дробь:
\(\frac{1260}{190}=\frac{126}{19}\)