ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 38.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Чему равно математическое ожидание количества выпавших пятёрок при подбрасывании трёх игральных кубиков? Подтвердите ответ расчётом, основанным на определении математического ожидания.

Пусть \(X\) — количество пятёрок на трёх кубиках.
Вероятность выпадения пятёрки на одном кубике: \( \frac{1}{6} \).
Математическое ожидание для одного кубика: \( \frac{1}{6} \).
Для трёх кубиков: \( 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \).

1. Обозначим количество выпавших пятёрок на трёх кубиках как \( X \).

2. Пусть \( X_1 \), \( X_2 \), \( X_3 \) — индикаторы того, что на первом, втором и третьем кубике выпала пятёрка. То есть, \( X_i = 1 \), если на \( i \)-м кубике выпала пятёрка, и \( X_i = 0 \), если не выпала.

3. Тогда \( X = X_1 + X_2 + X_3 \).

4. Вероятность того, что на одном кубике выпадет пятёрка: \( \frac{1}{6} \).

5. Математическое ожидание для одного кубика: \( E(X_i) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \).

6. Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий: \( E(X) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) \).

7. Так как все кубики одинаковы, \( E(X_1) = E(X_2) = E(X_3) = \frac{1}{6} \).

8. Тогда \( E(X) = 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{6} \).

9. Сокращаем дробь: \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).

10. Ответ: \( \frac{1}{2} \).