ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 4.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что функция \( y = ax^2 \) при \( a > 0 \) убывает на промежутке \( (-\infty; 0] \) и возрастает на промежутке \( [0; +\infty) \).

Для доказательства поведения функции \( y = ax^2 \) при \( a > 0 \) рассмотрим её изменение на заданных промежутках. Возьмём две точки \( x_1 \) и \( x_2 \), где \( x_1 < x_2 \), и вычислим разность значений функции: \( y(x_2) — y(x_1) = a x_2^2 — a x_1^2 = a (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) \). Поскольку \( a > 0 \) и \( x_2 — x_1 > 0 \), знак разности определяется множителем \( x_2 + x_1 \). На промежутке \( [0; +\infty) \) сумма \( x_2 + x_1 \geq 0 \), следовательно, \( y(x_2) — y(x_1) \geq 0 \), то есть функция возрастает. На промежутке \( (-\infty; 0] \) сумма \( x_2 + x_1 \leq 0 \), следовательно, \( y(x_2) — y(x_1) \leq 0 \), то есть функция убывает. Таким образом, доказано, что функция возрастает на \( [0; +\infty) \) и убывает на \( (-\infty; 0] \).

Для доказательства поведения функции \( y = ax^2 \) при условии \( a > 0 \) на заданных промежутках проведем детальный анализ. Мы должны показать, что функция убывает на промежутке \( (-\infty; 0] \) и возрастает на промежутке \( [0; +\infty) \). Рассмотрим это шаг за шагом, следуя логике примера.

1) Начнем с выражения разности значений функции в двух точках. Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — две произвольные точки на числовой оси, причем \( x_1 < x_2 \). Тогда значения функции в этих точках равны \( y(x_1) = a x_1^2 \) и \( y(x_2) = a x_2^2 \). Вычислим разность: \( y(x_2) — y(x_1) = a x_2^2 — a x_1^2 = a (x_2^2 — x_1^2) \). Используя формулу разности квадратов, получаем \( x_2^2 — x_1^2 = (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) \), следовательно, \( y(x_2) — y(x_1) = a (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) \). Это выражение будет ключевым для анализа поведения функции.

2) Теперь рассмотрим знак полученной разности на разных промежутках. Поскольку \( a > 0 \) по условию, а также \( x_2 > x_1 \), то множитель \( a (x_2 — x_1) \) всегда положителен. Таким образом, знак разности \( y(x_2) — y(x_1) \) определяется только множителем \( x_2 + x_1 \). Если \( x_2 + x_1 > 0 \), то \( y(x_2) — y(x_1) > 0 \), что означает \( y(x_2) > y(x_1) \), то есть функция возрастает. Это выполняется на промежутке \( [0; +\infty) \), так как если \( x_1 \geq 0 \) и \( x_2 \geq 0 \), то их сумма \( x_2 + x_1 \geq 0 \).

3) Если же \( x_2 + x_1 < 0 \), то \( y(x_2) — y(x_1) < 0 \), что означает \( y(x_2) < y(x_1) \), то есть функция убывает. Это выполняется на промежутке \( (-\infty; 0] \), так как если \( x_1 \leq 0 \) и \( x_2 \leq 0 \), то их сумма \( x_2 + x_1 \leq 0 \). Таким образом, на данном промежутке значения функции уменьшаются при увеличении аргумента.

4) На основании проведенного анализа заключаем, что функция \( y = ax^2 \) при \( a > 0 \) убывает на промежутке \( (-\infty; 0] \), так как при \( x_1 < x_2 \leq 0 \) выполняется \( y(x_2) < y(x_1) \), и возрастает на промежутке \( [0; +\infty) \), так как при \( 0 \leq x_1 < x_2 \) выполняется \( y(x_2) > y(x_1) \). Это и требовалось доказать.