Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 4.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что функция \( y = ax^2 \) при \( a < 0 \) возрастает на промежутке \( (-\infty; 0] \) и убывает на промежутке \( [0; +\infty) \).
Для функции \( y = ax^2 \) при \( a < 0 \):
1. Найдем разность значений функции: \( y(x_2) — y(x_1) = a x_2^2 — a x_1^2 = a (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) \).
2. На промежутке \( (-\infty; 0] \), если \( x_1 < x_2 \leq 0 \), то \( x_2 — x_1 > 0 \), а \( x_2 + x_1 \leq 0 \). Так как \( a < 0 \), то \( a (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) > 0 \), значит \( y(x_2) > y(x_1) \), функция возрастает.
3. На промежутке \( [0; +\infty) \), если \( 0 \leq x_1 < x_2 \), то \( x_2 — x_1 > 0 \), а \( x_2 + x_1 \geq 0 \). Так как \( a < 0 \), то \( a (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) < 0 \), значит \( y(x_2) < y(x_1) \), функция убывает.
Таким образом, функция возрастает на \( (-\infty; 0] \) и убывает на \( [0; +\infty) \).
Для доказательства того, что функция \( y = a x^2 \) при \( a < 0 \) возрастает на промежутке \( (-\infty; 0] \) и убывает на промежутке \( [0; +\infty) \), рассмотрим поведение функции на указанных интервалах с помощью анализа разности значений функции в двух точках. Приведем подробное решение, соответствующее примеру.
1) Разность значений функции в точках \( x_2 \) и \( x_1 \): вычислим \( y(x_2) — y(x_1) = a x_2^2 — a x_1^2 \). Раскроем это выражение как разность квадратов: \( a (x_2^2 — x_1^2) = a (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) \). Таким образом, разность значений функции зависит от знака выражения \( a (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) \), что позволит нам определить монотонность функции на различных промежутках.
2) Рассмотрим случай, когда обе точки лежат на промежутке \( [0; +\infty) \), то есть \( 0 \leq x_1 < x_2 \). В этом случае \( x_2 — x_1 > 0 \), а \( x_2 + x_1 \geq 0 \). Поскольку \( a < 0 \), произведение \( a (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) \) будет отрицательным: \( y(x_2) — y(x_1) < 0 \), что означает \( y(x_2) < y(x_1) \). Следовательно, функция убывает на промежутке \( [0; +\infty) \).
3) Теперь рассмотрим случай, когда обе точки лежат на промежутке \( (-\infty; 0] \), то есть \( x_1 < x_2 \leq 0 \). Здесь \( x_2 — x_1 > 0 \), но \( x_2 + x_1 \leq 0 \). Учитывая, что \( a < 0 \), произведение \( a (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) \) будет положительным: \( y(x_2) — y(x_1) > 0 \), что означает \( y(x_2) > y(x_1) \). Следовательно, функция возрастает на промежутке \( (-\infty; 0] \).
Таким образом, мы доказали, что функция \( y = a x^2 \) при \( a < 0 \) возрастает на промежутке \( (-\infty; 0] \) и убывает на промежутке \( [0; +\infty) \), что и требовалось показать.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.