ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 4.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \( y = -2x^2 \) на множестве \( M \), если:

1) \( M = [-3; -2] \);

2) \( M = [-2; 1] \);

3) \( M = (-3; 1] \);

4) \( M = [1; 3) \).

1) Для \( M = [-3; -2] \): наименьшее значение \( y(-3) = -2 \cdot (-3)^2 = -18 \), наибольшее значение \( y(-2) = -2 \cdot (-2)^2 = -8 \). Функция \( y = -2x^2 \) убывает на отрезке, так как вершина параболы при \( x = 0 \) находится вне отрезка, и максимум достигается в меньшей точке.

2) Для \( M = [-2; 1] \): наименьшее значение \( y(-2) = -2 \cdot (-2)^2 = -8 \), наибольшее значение \( y(0) = -2 \cdot 0^2 = 0 \). Вершина параболы \( x = 0 \) входит в отрезок, поэтому максимум в этой точке, а минимум на границе.

3) Для \( M = (-3; 1] \): наименьшее значение не существует, так как при \( x \to -3^+ \) значение \( y \to -\infty \); наибольшее значение \( y(0) = -2 \cdot 0^2 = 0 \). Открытый интервал слева не позволяет достичь минимума.

4) Для \( M = [1; 3) \): наименьшее значение не существует, так как при \( x \to 3^- \) значение \( y \to -\infty \); наибольшее значение \( y(1) = -2 \cdot 1^2 = -2 \). Открытый интервал справа не позволяет достичь минимума.

1) Рассмотрим множество \( M = [-3; -2] \). Функция \( y = -2x^2 \) является параболой, открытой вниз, с вершиной в точке \( x = 0 \), которая находится вне данного отрезка. Поскольку вершина справа от отрезка, функция на \( M = [-3; -2] \) убывает. Следовательно, наименьшее значение достигается в правой граничной точке \( x = -2 \), а наибольшее — в левой граничной точке \( x = -3 \).

Вычислим значения функции в этих точках. Для \( x = -3 \): \( y(-3) = -2 \cdot (-3)^2 = -2 \cdot 9 = -18 \). Для \( x = -2 \): \( y(-2) = -2 \cdot (-2)^2 = -2 \cdot 4 = -8 \). Таким образом, на множестве \( M = [-3; -2] \) наименьшее значение функции равно \( y(-3) = -18 \), а наибольшее значение равно \( y(-2) = -8 \).

2) Теперь рассмотрим множество \( M = [-2; 1] \). Вершина параболы \( y = -2x^2 \) находится в точке \( x = 0 \), которая входит в данный отрезок. Поскольку парабола открыта вниз, максимальное значение функции достигается в вершине, то есть при \( x = 0 \). Наименьшее значение будет достигаться на одной из границ отрезка.

Вычислим значения функции в ключевых точках. Для \( x = -2 \): \( y(-2) = -2 \cdot (-2)^2 = -2 \cdot 4 = -8 \). Для \( x = 0 \): \( y(0) = -2 \cdot 0^2 = 0 \). Для \( x = 1 \): \( y(1) = -2 \cdot 1^2 = -2 \). Сравнивая значения на границах, видим, что наименьшее значение равно \( y(-2) = -8 \), а наибольшее значение равно \( y(0) = 0 \). Таким образом, на множестве \( M = [-2; 1] \) наименьшее значение функции равно \( y(-2) = -8 \), а наибольшее значение равно \( y(0) = 0 \).

3) Перейдем к множеству \( M = (-3; 1] \). Это полуоткрытый интервал, где левая граница открыта, а правая закрыта. Вершина параболы \( y = -2x^2 \) находится в точке \( x = 0 \), которая входит в данный интервал. Поэтому максимальное значение функции достигается при \( x = 0 \) и равно \( y(0) = -2 \cdot 0^2 = 0 \).

Однако наименьшего значения на этом множестве не существует. Поскольку интервал открыт слева, \( x \) может неограниченно приближаться к \( -3 \) с правой стороны, но не достигает этой точки. При этом \( y = -2x^2 \) стремится к \( -\infty \), так как \( x^2 \) растет при удалении от нуля. Таким образом, на множестве \( M = (-3; 1] \) наименьшее значение функции не существует, а наибольшее значение равно \( y(0) = 0 \).

4) Наконец, рассмотрим множество \( M = [1; 3) \). Это полуоткрытый интервал, где левая граница закрыта, а правая открыта. Вершина параболы \( y = -2x^2 \) находится в точке \( x = 0 \), которая находится вне данного интервала слева. Поскольку парабола открыта вниз, функция на \( M = [1; 3) \) убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается в левой граничной точке \( x = 1 \).

Вычислим значение функции при \( x = 1 \): \( y(1) = -2 \cdot 1^2 = -2 \). Наименьшего значения на этом множестве не существует, так как интервал открыт справа, и при \( x \to 3^- \) значение \( y = -2x^2 \) стремится к \( -\infty \). Таким образом, на множестве \( M = [1; 3) \) наименьшее значение функции не существует, а наибольшее значение равно \( y(1) = -2 \).