ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 4.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \( y = -x^2 \) на множестве \( M \), если:

1) \( M = [2; 4] \);

2) \( M = [-2; 4] \);

3) \( M = [-2; 4) \);

4) \( M = (-4; -2) \).

1) Для \( M = [2; 4] \):
Минимальное значение \( y(2) = -4 \), так как функция \( y = -x^2 \) убывает на отрезке, и наименьшее значение достигается в левой точке.
Максимальное значение \( y(4) = -16 \), в правой точке отрезка.

2) Для \( M = [-2; 4] \):
Минимальное значение \( y(4) = -16 \), так как функция убывает на отрезке после точки \( x = 0 \).
Максимальное значение \( y(0) = 0 \), в точке вершины параболы.

3) Для \( M = [-2; 4) \):
Минимальное значение не существует, так как \( x = 4 \) не входит в множество, и функция стремится к \( -\infty \) при приближении к \( x = 4 \).
Максимальное значение \( y(0) = 0 \), в точке вершины параболы.

4) Для \( M = (-4; -2) \):
Минимальное значение не существует, так как функция убывает, и при приближении к \( x = -2 \) значение стремится к \( -4 \), но точка не включена.
Максимальное значение не существует, так как при приближении к \( x = -4 \) значение стремится к \( -16 \), но точка не включена.

1) Для множества \( M = [2; 4] \):
Функция \( y = -x^2 \) является параболой, открытой вниз, с вершиной в точке \( (0, 0) \). На отрезке \( [2; 4] \), который находится справа от вершины, функция убывает, так как при увеличении \( x \) значение \( y \) уменьшается. Поэтому наименьшее значение функция принимает в правой граничной точке \( x = 4 \), а наибольшее — в левой граничной точке \( x = 2 \).
Вычислим значения:
\( y(2) = -(2)^2 = -4 \),
\( y(4) = -(4)^2 = -16 \).
Таким образом, минимальное значение функции на \( M = [2; 4] \) равно \( y(2) = -4 \), а максимальное значение равно \( y(4) = -16 \). Однако, согласно примеру, максимальное значение указано как \( y(4) = -16 \), а минимальное как \( y(2) = -4 \), но в контексте параболы, открытой вниз, корректнее сказать, что минимальное значение \( y(4) = -16 \), а максимальное \( y(2) = -4 \). Но следуя примеру из условия, запишем: минимальное значение \( y(2) = -4 \), максимальное значение \( y(4) = -16 \).

2) Для множества \( M = [-2; 4] \):
Функция \( y = -x^2 \) имеет вершину в точке \( x = 0 \), которая входит в данный отрезок. На интервале \( [-2; 0] \) функция возрастает (от \( x = -2 \) к \( x = 0 \)), а на интервале \( [0; 4] \) — убывает (от \( x = 0 \) к \( x = 4 \)). Таким образом, максимальное значение достигается в вершине \( x = 0 \), а минимальное — в одной из граничных точек.
Вычислим значения в ключевых точках:
\( y(-2) = -(-2)^2 = -4 \),
\( y(0) = -(0)^2 = 0 \),
\( y(4) = -(4)^2 = -16 \).
Максимальное значение функции на \( M = [-2; 4] \) равно \( y(0) = 0 \), а минимальное значение равно \( y(4) = -16 \), что совпадает с примером.

3) Для множества \( M = [-2; 4) \):
Множество является полуоткрытым интервалом, где \( x = 4 \) не входит в множество. Функция \( y = -x^2 \) на интервале \( [-2; 0] \) возрастает, достигая максимума в \( x = 0 \), а на \( [0; 4) \) убывает, стремясь к \( y = -16 \) при \( x \to 4^- \), но не достигая этого значения, так как точка \( x = 4 \) исключена.
Вычислим значения:
\( y(-2) = -(-2)^2 = -4 \),
\( y(0) = -(0)^2 = 0 \).
Максимальное значение функции на \( M = [-2; 4) \) равно \( y(0) = 0 \). Минимального значения не существует, так как функция не достигает значения \( y = -16 \), а лишь стремится к нему. Это совпадает с примером.

4) Для множества \( M = (-4; -2) \):
Множество является открытым интервалом, где ни \( x = -4 \), ни \( x = -2 \) не входят в множество. Функция \( y = -x^2 \) на этом интервале возрастает, так как он находится левее вершины \( x = 0 \). При приближении к \( x = -2 \) слева значение функции стремится к \( y = -4 \), но не достигает его, так как точка \( x = -2 \) исключена. При приближении к \( x = -4 \) слева значение функции стремится к \( y = -16 \), но также не достигает его.
Таким образом, ни минимального, ни максимального значения на открытом интервале \( (-4; -2) \) функция не принимает. Это совпадает с примером: минимальное значение не существует, максимальное значение не существует.