ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 4.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \( y = 2[x] \);

2) \( y = -\frac{1}{2}[x] \);

3) \( y = 3 \text{sgn } x \).

1. Для функции \( y = 2[x] \): строим график функции \( y = [x] \), которая является ступенчатой (целая часть числа), затем растягиваем его в 2 раза по оси \( y \), умножая значения на 2. Таким образом, на каждом интервале \( [n, n+1) \) значение функции будет \( y = 2n \).

2. Для функции \( y = -\frac{1}{2}[x] \): строим график функции \( y = [x] \), отражаем его относительно оси \( x \) (меняем знак на противоположный), затем сжимаем по оси \( y \) в 2 раза, умножая значения на \( \frac{1}{2} \). На каждом интервале \( [n, n+1) \) значение функции будет \( y = -\frac{1}{2}n \).

3. Для функции \( y = 3 \text{sgn } x \): строим график функции \( y = \text{sgn } x \), которая принимает значения \( -1 \) при \( x < 0 \), \( 0 \) при \( x = 0 \), и \( 1 \) при \( x > 0 \), затем растягиваем его в 3 раза по оси \( y \), умножая значения на 3. Таким образом, значения функции становятся \( -3 \) при \( x < 0 \), \( 0 \) при \( x = 0 \), и \( 3 \) при \( x > 0 \).

1. Рассмотрим функцию \( y = 2[x] \). Функция \( [x] \) обозначает целую часть числа \( x \), то есть наибольшее целое число, не превышающее \( x \). Это ступенчатая функция, которая на каждом интервале \( [n, n+1) \), где \( n \) — целое число, принимает постоянное значение \( y = n \). Для построения графика функции \( y = 2[x] \) необходимо взять график \( y = [x] \) и растянуть его в 2 раза по оси \( y \). Это означает, что каждое значение функции умножается на 2. Таким образом, на каждом интервале \( [n, n+1) \) значение функции становится \( y = 2n \). Например, на интервале \( [0, 1) \) значение \( y = 0 \) превращается в \( y = 0 \), на интервале \( [1, 2) \) значение \( y = 1 \) становится \( y = 2 \), а на интервале \( [-1, 0) \) значение \( y = -1 \) становится \( y = -2 \). График остается ступенчатым, но высота каждой ступеньки увеличивается в 2 раза.

2. Перейдем к функции \( y = -\frac{1}{2}[x] \). Начнем с базового графика функции \( y = [x] \), который описан выше. Для построения графика заданной функции необходимо выполнить два преобразования. Сначала отражаем график относительно оси \( x \), что эквивалентно умножению значений функции на \( -1 \). Это превращает значения \( y = n \) в \( y = -n \) на каждом интервале \( [n, n+1) \). Затем сжимаем график в 2 раза по оси \( y \), умножая значения на \( \frac{1}{2} \). В результате на каждом интервале \( [n, n+1) \) значение функции становится \( y = -\frac{1}{2}n \). Например, на интервале \( [0, 1) \) значение \( y = 0 \) остается \( y = 0 \), на интервале \( [1, 2) \) значение \( y = 1 \) превращается в \( y = -\frac{1}{2} \), а на интервале \( [-1, 0) \) значение \( y = -1 \) становится \( y = \frac{1}{2} \). График остается ступенчатым, но ступеньки направлены в противоположную сторону и их высота уменьшена вдвое.

3. Наконец, рассмотрим функцию \( y = 3 \text{sgn } x \). Функция \( \text{sgn } x \) — это знаковая функция, которая принимает значение \( 1 \), если \( x > 0 \), \( -1 \), если \( x < 0 \), и \( 0 \), если \( x = 0 \). График этой функции состоит из трех частей: горизонтальной линии \( y = 1 \) при \( x > 0 \), горизонтальной линии \( y = -1 \) при \( x < 0 \), и точки \( (0, 0) \). Для построения графика функции \( y = 3 \text{sgn } x \) необходимо растянуть график \( y = \text{sgn } x \) в 3 раза по оси \( y \), умножив все значения на 3. В результате значения функции становятся \( y = 3 \) при \( x > 0 \), \( y = -3 \) при \( x < 0 \), и \( y = 0 \) при \( x = 0 \). Таким образом, график состоит из двух горизонтальных линий на уровнях \( y = 3 \) и \( y = -3 \), с разрывом в точке \( (0, 0) \).