ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 4.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \( y = -[x] \);

2) \( y = 2\{x\} \);

3) \( y = -2 \text{sgn } x \).

1. График функции \( y = -[x] \): это график функции \( y = [x] \) (целочисленная часть числа), отражённый относительно оси абсцисс. Для каждого \( x \) значение \( y \) будет отрицательным и равным целой части \( x \), взятой с противоположным знаком. Например, если \( x = 2.3 \), то \( [x] = 2 \), а \( y = -2 \).

2. График функции \( y = 2\{x\} \): это график функции \( y = \{x\} \) (дробная часть числа), растянутый в 2 раза по оси ординат. Для каждого \( x \) значение \( y \) будет в два раза больше дробной части \( x \). Например, если \( x = 2.3 \), то \( \{x\} = 0.3 \), а \( y = 2 \cdot 0.3 = 0.6 \).

3. График функции \( y = -2 \text{sgn } x \): это график функции \( y = \text{sgn } x \) (знаковая функция), отражённый относительно оси абсцисс и растянутый в 2 раза по оси ординат. Значение \( y \) равно \( -2 \), если \( x > 0 \); \( 0 \), если \( x = 0 \); и \( 2 \), если \( x < 0 \).

1. Рассмотрим построение графика функции \( y = -[x] \). Функция \( [x] \) обозначает целую часть числа \( x \), то есть наибольшее целое число, не превосходящее \( x \). Например, для \( x = 2.3 \) значение \( [x] = 2 \), а для \( x = -1.7 \) значение \( [x] = -2 \). Наша функция \( y = -[x] \) означает, что мы берём значение целой части и меняем его знак на противоположный.

Для построения графика сначала строим график \( y = [x] \). Этот график представляет собой ступенчатую функцию: на каждом интервале \( [n, n+1) \), где \( n \) — целое число, значение функции постоянно и равно \( n \). Например, на отрезке \( [0, 1) \) значение \( y = 0 \), на \( [1, 2) \) значение \( y = 1 \), на \( [-1, 0) \) значение \( y = -1 \).

Теперь отражаем график относительно оси абсцисс, то есть меняем знак \( y \). Таким образом, на интервале \( [0, 1) \) значение становится \( y = 0 \cdot (-1) = 0 \), на \( [1, 2) \) значение становится \( y = -1 \), на \( [-1, 0) \) значение становится \( y = 1 \). В результате график функции \( y = -[x] \) выглядит как ступенчатая функция, где значения на каждом интервале \( [n, n+1) \) равны \( -n \).

2. Перейдём к построению графика функции \( y = 2\{x\} \). Функция \( \{x\} \) обозначает дробную часть числа \( x \), которая всегда находится в диапазоне \( [0, 1) \). Например, для \( x = 2.3 \) значение \( \{x\} = 0.3 \), а для \( x = -1.7 \) значение \( \{x\} = 0.3 \), так как \( -1.7 = -2 + 0.3 \).

График функции \( y = \{x\} \) имеет пилообразный вид: на каждом интервале \( [n, n+1) \) функция линейно возрастает от 0 до 1. Например, на отрезке \( [0, 1) \) значение \( y \) увеличивается от 0 до 1, а в точке \( x = 1 \) сбрасывается обратно к 0 и начинается новый цикл на \( [1, 2) \).

Для функции \( y = 2\{x\} \) мы растягиваем график по оси ординат в 2 раза, то есть каждое значение \( y \) умножается на 2. Таким образом, на каждом интервале \( [n, n+1) \) функция линейно возрастает от 0 до 2. Например, на отрезке \( [0, 1) \) значение \( y \) увеличивается от 0 до 2, а в точке \( x = 1 \) сбрасывается к 0. График остаётся пилообразным, но с увеличенной амплитудой.

3. Наконец, построим график функции \( y = -2 \text{sgn } x \). Функция \( \text{sgn } x \) — это знаковая функция, которая принимает значение 1, если \( x > 0 \), значение -1, если \( x < 0 \), и 0, если \( x = 0 \). График этой функции состоит из трёх частей: горизонтальной линии \( y = 1 \) при \( x > 0 \), горизонтальной линии \( y = -1 \) при \( x < 0 \), и точки \( (0, 0) \).

Сначала выполняем отражение графика относительно оси абсцисс, то есть меняем знак значений \( y \). Таким образом, для \( x > 0 \) значение становится \( y = -1 \), для \( x < 0 \) значение становится \( y = 1 \), а в точке \( x = 0 \) значение остаётся \( y = 0 \).

Далее растягиваем график в 2 раза по оси ординат, умножая значения \( y \) на 2. В результате для \( x > 0 \) значение становится \( y = -2 \), для \( x < 0 \) значение становится \( y = 2 \), а в точке \( x = 0 \) значение остаётся \( y = 0 \). Итоговый график состоит из горизонтальной линии \( y = -2 \) при \( x > 0 \), горизонтальной линии \( y = 2 \) при \( x < 0 \), и точки \( (0, 0) \).