ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 4.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \( y = [2x] \);

2) \( y = \left\{-\frac{1}{2}x\right\} \).

1) Для построения графика функции \( y = [2x] \), сначала строим график функции \( y = [x] \), который представляет собой ступенчатую функцию, где значение \( y \) равно наибольшему целому числу, не превышающему \( x \). Затем сжимаем график в 2 раза вдоль оси \( x \), что эквивалентно замене \( x \) на \( 2x \). Это означает, что каждая ступенька будет иметь ширину \( 0.5 \) вместо \( 1 \). Например, на отрезке \( x \) от \( 0 \) до \( 0.5 \), \( y = 0 \); от \( 0.5 \) до \( 1 \), \( y = 1 \), и так далее.

2) Для построения графика функции \( y = \left\{-\frac{1}{2}x\right\} \), сначала строим график функции \( y = \{x\} \), которая является дробной частью \( x \) и имеет пилообразный вид с периодом \( 1 \). Затем выполняем преобразование: отражение относительно оси \( y \) из-за знака минус (замена \( x \) на \( -x \)), и сжатие вдоль оси \( x \) в 2 раза из-за коэффициента \( \frac{1}{2} \). Это приводит к тому, что период функции становится равным \( 2 \), а график выглядит как пилообразная функция, возрастающая от \( 0 \) до \( 1 \) на отрезке от \( -2 \) до \( 0 \), и так далее в каждом периоде.

1) Рассмотрим построение графика функции \( y = [2x] \). Функция \( [x] \) обозначает целую часть числа \( x \), то есть наибольшее целое число, не превышающее \( x \). Например, \( [1.7] = 1 \), \( [-0.3] = -1 \). График функции \( y = [x] \) представляет собой ступенчатую функцию: на каждом интервале \( [n, n+1) \), где \( n \) — целое число, значение \( y \) постоянно и равно \( n \).

Теперь преобразуем эту функцию к виду \( y = [2x] \). Умножение аргумента на 2 означает сжатие графика вдоль оси \( x \) в 2 раза. Это связано с тем, что теперь изменение \( x \) на \( 0.5 \) приводит к такому же изменению значения функции, как раньше изменение на \( 1 \). Таким образом, каждая «ступенька» графика \( y = [x] \), которая раньше имела ширину \( 1 \), теперь будет иметь ширину \( 0.5 \).

Построим график пошагово. Сначала возьмем несколько значений \( x \) и вычислим \( y = [2x] \). Например, для \( x = 0 \), \( 2x = 0 \), \( y = [0] = 0 \). Для \( x = 0.4 \), \( 2x = 0.8 \), \( y = [0.8] = 0 \). Для \( x = 0.5 \), \( 2x = 1 \), \( y = [1] = 1 \). Для \( x = 1 \), \( 2x = 2 \), \( y = [2] = 2 \). Для \( x = -0.5 \), \( 2x = -1 \), \( y = [-1] = -1 \). Таким образом, на интервале \( x \) от \( 0 \) до \( 0.5 \) значение \( y = 0 \), на интервале от \( 0.5 \) до \( 1 \) значение \( y = 1 \), на интервале от \( -0.5 \) до \( 0 \) значение \( y = -1 \), и так далее.

Итак, график функции \( y = [2x] \) состоит из ступенек шириной \( 0.5 \), где на каждом интервале \( [n/2, (n+1)/2) \) значение \( y = n \), где \( n \) — целое число. Это соответствует сжатию графика \( y = [x] \) вдоль оси \( x \) в 2 раза.

2) Теперь построим график функции \( y = \left\{-\frac{1}{2}x\right\} \). Функция \( \{x\} \) обозначает дробную часть числа \( x \), то есть \( \{x\} = x — [x] \), и принимает значения от \( 0 \) до \( 1 \). График функции \( y = \{x\} \) имеет пилообразный вид: на каждом интервале \( [n, n+1) \), где \( n \) — целое число, функция линейно возрастает от \( 0 \) до \( 1 \).

Рассмотрим преобразование аргумента в функции \( y = \left\{-\frac{1}{2}x\right\} \). Здесь есть два преобразования: умножение на \( -\frac{1}{2} \), что означает сжатие графика вдоль оси \( x \) в 2 раза (из-за коэффициента \( \frac{1}{2} \)) и отражение относительно оси \( y \) (из-за знака минус). Сначала разберем отражение: замена \( x \) на \( -x \) в функции \( y = \{x\} \) приводит к отражению графика относительно оси \( y \), то есть график теперь будет убывать от \( 1 \) до \( 0 \) на каждом интервале \( [n, n+1) \).

Теперь добавим сжатие из-за коэффициента \( \frac{1}{2} \). Умножение аргумента на \( \frac{1}{2} \) растягивает график вдоль оси \( x \) в 2 раза, то есть каждая «пила» теперь будет иметь ширину \( 2 \) вместо \( 1 \). Таким образом, в функции \( y = \left\{-\frac{1}{2}x\right\} \) период графика становится равным \( 2 \), и из-за отражения график будет возрастать на каждом интервале длиной \( 2 \).

Построим график пошагово. Возьмем несколько значений \( x \). Для \( x = 0 \), \( -\frac{1}{2}x = 0 \), \( y = \{0\} = 0 \). Для \( x = -1 \), \( -\frac{1}{2}x = 0.5 \), \( y = \{0.5\} = 0.5 \). Для \( x = -2 \), \( -\frac{1}{2}x = 1 \), \( y = \{1\} = 0 \). Для \( x = 2 \), \( -\frac{1}{2}x = -1 \), \( y = \{-1\} = 0 \). Таким образом, на интервале \( x \) от \( -2 \) до \( 0 \), функция линейно возрастает от \( 0 \) до \( 1 \) и обратно к \( 0 \), и этот узор повторяется с периодом \( 2 \).

Итак, график функции \( y = \left\{-\frac{1}{2}x\right\} \) представляет собой пилообразную функцию с периодом \( 2 \), где на каждом интервале длиной \( 2 \) функция возрастает и убывает в диапазоне от \( 0 \) до \( 1 \), с учетом отражения и растяжения исходного графика \( y = \{x\} \).