ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 4.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \( y = \left[\frac{x}{2}\right] \);

2) \( y = \left\{2x\right\} \).

1) Для построения графика функции \( y = \left[\frac{x}{2}\right] \), сначала строим график \( y = \left[x\right] \), который представляет собой ступенчатую функцию, где значение \( y \) равно наибольшему целому числу, меньшему или равному \( x \). Затем сжимаем график вдоль оси \( x \) в 2 раза, так как аргумент делится на 2. Это означает, что каждая ступенька будет длиться в 2 раза дольше по оси \( x \). Например, для \( x \) от 0 до 2, \( y = 0 \), для \( x \) от 2 до 4, \( y = 1 \), и так далее.

2) Для построения графика функции \( y = \left\{2x\right\} \), сначала строим график \( y = \left\{x\right\} \), который представляет собой дробную часть числа \( x \), принимающую значения от 0 до 1 с периодом 1. Затем растягиваем аргумент в 2 раза, умножая \( x \) на 2, что приводит к сжатию графика вдоль оси \( x \) в 2 раза. Период функции становится равным \( \frac{1}{2} \), и график повторяется каждые 0.5 единицы по оси \( x \). Например, на отрезке от 0 до 0.5, \( y \) изменяется от 0 до 1, затем сбрасывается.

1) Рассмотрим построение графика функции \( y = \left[\frac{x}{2}\right] \). Эта функция является преобразованием функции наибольшего целого числа, также известной как функция пола, \( y = \left[x\right] \), которая возвращает наибольшее целое число, меньшее или равное аргументу \( x \). В данном случае аргумент функции делится на 2, что приводит к растяжению графика исходной функции вдоль оси \( x \).

Для начала построим график функции \( y = \left[x\right] \). Эта функция имеет ступенчатый вид: на каждом интервале \( [n, n+1) \), где \( n \) — целое число, значение функции постоянно и равно \( n \). Например, для \( x \) от 0 до 1 (не включая 1), \( y = 0 \); для \( x \) от 1 до 2 (не включая 2), \( y = 1 \), и так далее. Аналогично для отрицательных значений: для \( x \) от -1 до 0 (не включая 0), \( y = -1 \).

Теперь применим преобразование \( x \to \frac{x}{2} \). Это означает, что каждый участок графика функции \( y = \left[x\right] \), который раньше занимал интервал длиной 1 по оси \( x \), теперь будет занимать интервал длиной 2. Иными словами, график растягивается в 2 раза вдоль оси \( x \). Например, ступенька, где \( y = 0 \), будет теперь на интервале \( x \) от 0 до 2; ступенька, где \( y = 1 \), будет на интервале от 2 до 4; ступенька, где \( y = -1 \), будет на интервале от -2 до 0, и так далее.

Таким образом, график функции \( y = \left[\frac{x}{2}\right] \) представляет собой ступенчатую функцию, где каждая ступенька имеет ширину 2 единицы по оси \( x \), а высота ступеньки определяется значением \( y \), равным наибольшему целому числу, меньшему или равному \( \frac{x}{2} \). Например, при \( x = 3 \), \( \frac{x}{2} = 1.5 \), значит \( y = \left[1.5\right] = 1 \); при \( x = -3 \), \( \frac{x}{2} = -1.5 \), значит \( y = \left[-1.5\right] = -2 \).

Построение графика можно выполнить, отметив ключевые точки, где значение функции меняется, то есть в точках \( x = 2n \), где \( n \) — целое число. В этих точках функция принимает значение \( y = n \), и это значение сохраняется до следующей точки \( x = 2(n+1) \), где функция принимает значение \( y = n+1 \).

2) Теперь рассмотрим построение графика функции \( y = \left\{2x\right\} \). Эта функция представляет собой дробную часть числа \( 2x \), то есть \( y = 2x — \left[2x\right] \), где \( \left[2x\right] \) — наибольшее целое число, меньшее или равное \( 2x \). Дробная часть всегда находится в диапазоне от 0 до 1 (не включая 1).

Сначала построим график функции \( y = \left\{x\right\} \), которая возвращает дробную часть числа \( x \). Эта функция имеет пилообразный вид с периодом 1: на каждом интервале \( [n, n+1) \), где \( n \) — целое число, \( y = x — n \), то есть график представляет собой прямую линию, возрастающую от 0 до 1. Например, на интервале от 0 до 1, \( y = x \); на интервале от 1 до 2, \( y = x — 1 \), и так далее. В точках \( x = n \), где \( n \) — целое, значение функции равно 0, и затем график линейно возрастает до значения, близкого к 1, но не достигающего его, после чего происходит скачок вниз до 0 в следующей целой точке.

Теперь применим преобразование \( x \to 2x \). Это означает, что аргумент функции умножается на 2, что приводит к сжатию графика вдоль оси \( x \) в 2 раза. Период функции \( y = \left\{x\right\} \), равный 1, после преобразования становится равным \( \frac{1}{2} \). Таким образом, пилообразный график будет повторяться каждые \( \frac{1}{2} \) единицы по оси \( x \).

На каждом интервале длиной \( \frac{1}{2} \), например, от 0 до \( \frac{1}{2} \), значение \( 2x \) изменяется от 0 до 1, следовательно, \( y = \left\{2x\right\} = 2x \), и график представляет собой прямую линию, возрастающую от 0 до 1. На следующем интервале, от \( \frac{1}{2} \) до 1, \( 2x \) изменяется от 1 до 2, значит \( y = \left\{2x\right\} = 2x — 1 \), и график снова возрастает от 0 до 1. Аналогично для отрицательных значений \( x \): на интервале от \( -\frac{1}{2} \) до 0, \( 2x \) изменяется от -1 до 0, значит \( y = \left\{2x\right\} = 2x + 1 \), и график возрастает от 0 до 1.

Таким образом, график функции \( y = \left\{2x\right\} \) имеет период \( \frac{1}{2} \), и на каждом интервале длиной \( \frac{1}{2} \) представляет собой прямую линию, возрастающую от 0 до 1, с разрывами в точках \( x = \frac{n}{2} \), где \( n \) — целое число, и значение функции скачком возвращается к 0. Построение графика можно выполнить, отметив ключевые точки разрыва и соединив их прямыми линиями на соответствующих интервалах.