ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 4.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение \( 16 — 11\sqrt{7} — 12\sqrt{2} \).

Первоначальное выражение: \(\sqrt{6-\sqrt{17-12\sqrt{2}}}\).

Заметим: \(\sqrt{17-12\sqrt{2}}=\sqrt{9+8-12\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{9}-\sqrt{8})^2}=\sqrt{(3-2\sqrt{2})^2}=\)
\(=3-2\sqrt{2}\).

Тогда: \(\sqrt{6-(3-2\sqrt{2})}=\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}=\sqrt{2}+1\).

Начнём с исходного выражения \(\sqrt{6-\sqrt{17-12\sqrt{2}}}\). Внутренний корень \(\sqrt{17-12\sqrt{2}}\) имеет вид суммы и разности с участием \(\sqrt{2}\), поэтому попробуем представить подкоренное выражение как разность квадрата двух радикалов: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Если взять \(a=3\) и \(b=2\sqrt{2}\), то получим \(a^2=9\), \(b^2=(2\sqrt{2})^2=4\cdot 2=8\), а удвоенное произведение \(2ab=2\cdot 3\cdot 2\sqrt{2}=12\sqrt{2}\). Тогда \(a^2+b^2-2ab=9+8-12\sqrt{2}=17-12\sqrt{2}\), то есть \(\sqrt{17-12\sqrt{2}}=\sqrt{(3-2\sqrt{2})^2}\). Поскольку \(3-2\sqrt{2}>0\), имеем \(\sqrt{(3-2\sqrt{2})^2}=3-2\sqrt{2}\).

Подставим найденное значение во внешнее выражение: \(\sqrt{6-(3-2\sqrt{2})}=\sqrt{6-3+2\sqrt{2}}=\sqrt{3+2\sqrt{2}}\). Теперь заметим, что \(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\) тоже можно представить как корень из полного квадрата суммы радикала и числа. Предположим, что \(\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}\). Проверим: \((\sqrt{2}+1)^2=(\sqrt{2})^2+2\cdot \sqrt{2}\cdot 1+1^2=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}\). Совпадение подтверждено, следовательно \(\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}\).

Остаётся извлечь корень из квадрата. Поскольку \(\sqrt{2}+1>0\), выполняется \(\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}=\sqrt{2}+1\). Таким образом, последовательное представление обоих подкоренных выражений как полных квадратов приводит к упрощению без дополнительных преобразований: \(\sqrt{6-\sqrt{17-12\sqrt{2}}}=\sqrt{2}+1\).