ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 4.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) произведение корней уравнения \( x^2 — 2ax + a^2 — a = 0 \) равно 2?

Для уравнения \( x^2 — 2ax + a^2 — a = 0 \) произведение корней равно \( c = a^2 — a \). По условию, \( a^2 — a = 2 \), откуда \( a^2 — a — 2 = 0 \). Решаем: дискриминант \( D = 1 + 8 = 9 \), корни \( a = \frac{1 \pm 3}{2} \), то есть \( a = 2 \) или \( a = -1 \). Проверяем условие существования корней уравнения: дискриминант исходного уравнения \( D = (2a)^2 — 4(a^2 — a) = 4a \), и \( 4a \geq 0 \), то есть \( a \geq 0 \). Таким образом, подходит только \( a = 2 \).

Ответ: \( 2 \)

1) Для заданного уравнения \( x^2 — 2ax + a^2 — a = 0 \) найдем произведение корней. В общем виде для квадратного уравнения \( x^2 + bx + c = 0 \) произведение корней равно \( c \). В нашем случае \( c = a^2 — a \), значит, произведение корней равно \( a^2 — a \). Также можно вычислить дискриминант \( D = (2a)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (a^2 — a) = 4a^2 — 4a^2 + 4a = 4a \). Тогда корни уравнения: \( x_{1,2} = a \pm \sqrt{a} \), и их произведение: \( x_1 \cdot x_2 = (a — \sqrt{a})(a + \sqrt{a}) = a^2 — a \), что совпадает с предыдущим выводом.

2) По условию задачи произведение корней должно быть равно 2. Составим уравнение: \( a^2 — a = 2 \), или \( a^2 — a — 2 = 0 \). Решаем это квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \). Корни: \( a = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \). Таким образом, \( a_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \) и \( a_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \).

3) Теперь проверим, при каких значениях \( a \) исходное уравнение имеет корни. Для этого дискриминант должен быть неотрицательным: \( D = 4a \geq 0 \), откуда \( a \geq 0 \). Из найденных значений \( a = -1 \) и \( a = 2 \) условию \( a \geq 0 \) удовлетворяет только \( a = 2 \).

Ответ: \( 2 \).