ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 4.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На рисунке 4.15 изображён график функции \( y = f(x) \).

Постройте график функции:

1) \( y = f(-x) \);

2) \( y = f(2x) \);

3) \( y = f\left(-\frac{1}{2}x\right) \).

1) Для построения графика функции \( y = f(-x) \) необходимо отразить исходный график функции \( y = f(x) \) относительно оси ординат (оси \( y \)). Это означает, что каждая точка с координатами \( (x, y) \) перейдет в точку \( (-x, y) \).

2) Для построения графика функции \( y = f(2x) \) нужно сжать исходный график в 2 раза по оси \( x \) к оси ординат. Это значит, что каждая точка \( (x, y) \) преобразуется в точку \( \left(\frac{x}{2}, y\right) \).

3) Для построения графика функции \( y = f\left(-\frac{1}{2}x\right) \) необходимо сначала отразить график относительно оси ординат (из-за отрицательного коэффициента), а затем растянуть его в 2 раза по оси \( x \) от оси ординат (из-за коэффициента \( \frac{1}{2} \)). Таким образом, точка \( (x, y) \) преобразуется в точку \( \left(-2x, y\right) \).

1) Для построения графика функции \( y = f(-x) \) необходимо выполнить отражение исходного графика функции \( y = f(x) \) относительно оси ординат, то есть оси \( y \). Это преобразование изменяет знак координаты \( x \) каждой точки графика, оставляя координату \( y \) без изменений. Таким образом, если на исходном графике есть точка с координатами \( (a, b) \), то на новом графике она будет иметь координаты \( (-a, b) \). Такое отражение фактически «переворачивает» график слева направо через ось \( y \), сохраняя все значения функции, но меняя знак аргумента. Например, если исходный график проходит через точку \( (2, 3) \), то после отражения он пройдет через точку \( (-2, 3) \). Это преобразование особенно важно для понимания симметрии функции относительно оси \( y \), если она изначально обладает четностью.

2) Для построения графика функции \( y = f(2x) \) требуется сжать исходный график функции \( y = f(x) \) в 2 раза по оси \( x \) к оси ординат. Это означает, что каждая точка исходного графика с координатами \( (x, y) \) преобразуется в точку с координатами \( \left(\frac{x}{2}, y\right) \). Такое сжатие уменьшает расстояние от каждой точки до оси \( y \) в 2 раза, делая график «уже». Например, если на исходном графике есть точка \( (4, 5) \), то после сжатия она станет точкой \( (2, 5) \), так как \( 4 \) делится на 2. Это преобразование изменяет масштаб аргумента функции, что влияет на скорость изменения значений функции по оси \( x \). Если функция имела определенный период или частоту изменений, то после сжатия эти характеристики также изменятся, уменьшив период в 2 раза.

3) Для построения графика функции \( y = f\left(-\frac{1}{2}x\right) \) необходимо выполнить два последовательных преобразования исходного графика функции \( y = f(x) \). Сначала выполняется отражение графика относительно оси ординат из-за отрицательного знака в аргументе, что преобразует каждую точку \( (x, y) \) в точку \( (-x, y) \). Затем график растягивается в 2 раза по оси \( x \) от оси ординат из-за коэффициента \( \frac{1}{2} \) внутри аргумента, что дополнительно преобразует координату \( x \) каждой точки, умножая ее на 2. Итоговое преобразование точки \( (x, y) \) приводит к точке \( \left(-2x, y\right) \). Например, если исходная точка была \( (1, 3) \), то после отражения она станет \( (-1, 3) \), а после растяжения — \( (-2, 3) \). Это комбинированное преобразование изменяет как ориентацию графика, так и его масштаб по оси \( x \), делая его шире и перевернутым относительно исходного положения.