ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 4.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На рисунке 4.16 изображён график функции \( y = g(x) \). Постройте график функции:

1) \( y = g(-x) \);

2) \( y = g(2x) \);

3) \( y = g(-3x) \).

1) Для построения графика функции \( y = g(-x) \) необходимо отразить график функции \( y = g(x) \) относительно оси ординат (оси \( y \)). Это значит, что все точки графика с координатами \( (x, y) \) переходят в точки \( (-x, y) \).

2) Для построения графика функции \( y = g(2x) \) необходимо сжать график функции \( y = g(x) \) к оси ординат в 2 раза. Это значит, что все значения \( x \) уменьшаются в 2 раза, и точки \( (x, y) \) переходят в точки \( \left(\frac{x}{2}, y\right) \).

3) Для построения графика функции \( y = g(-3x) \) необходимо сначала отразить график функции \( y = g(x) \) относительно оси ординат, а затем сжать его к оси ординат в 3 раза. Это значит, что точки \( (x, y) \) переходят в точки \( \left(-\frac{x}{3}, y\right) \).

1) Для построения графика функции \( y = g(-x) \) рассмотрим преобразование исходного графика функции \( y = g(x) \). Это преобразование означает отражение графика относительно оси ординат, то есть оси \( y \). Каждая точка исходного графика с координатами \( (x, y) \) после отражения переходит в точку с координатами \( (-x, y) \). Например, если на исходном графике есть точка \( (2, 3) \), то на новом графике она будет иметь координаты \( (-2, 3) \).

Таким образом, чтобы построить график \( y = g(-x) \), нужно взять каждую точку исходного графика и изменить знак её абсциссы, оставив ординату без изменений. Это преобразование меняет направление графика по горизонтали: если исходный график возрастал слева направо, то новый будет возрастать справа налево. В результате получается зеркальное отражение графика относительно вертикальной оси.

2) Для построения графика функции \( y = g(2x) \) необходимо выполнить сжатие исходного графика функции \( y = g(x) \) к оси ординат в 2 раза. Это означает, что все значения \( x \) в исходной функции уменьшаются в 2 раза, чтобы получить те же значения \( y \). Каждая точка исходного графика с координатами \( (x, y) \) переходит в точку с координатами \( \left(\frac{x}{2}, y\right) \). Например, точка \( (4, 5) \) на исходном графике станет точкой \( (2, 5) \) на новом графике.

Такое преобразование делает график более узким по горизонтали, так как все точки приближаются к оси \( y \). Если исходный график имел определённый период или ширину, то после сжатия этот период или ширина уменьшится в 2 раза. Таким образом, график функции \( y = g(2x) \) выглядит как сжатый по оси \( x \) вариант исходного графика.

3) Для построения графика функции \( y = g(-3x) \) требуется выполнить два преобразования исходного графика функции \( y = g(x) \). Первое преобразование — это отражение относительно оси ординат, как в случае с \( y = g(-x) \), из-за наличия минуса в аргументе. Второе преобразование — это сжатие к оси ординат в 3 раза из-за коэффициента 3 в аргументе.

Разберём это по шагам: сначала каждая точка \( (x, y) \) исходного графика преобразуется в точку \( (-x, y) \) из-за отражения. Затем, из-за сжатия в 3 раза, значение \( x \) уменьшается в 3 раза, и точка становится \( \left(-\frac{x}{3}, y\right) \). Например, точка \( (3, 2) \) сначала преобразуется в \( (-3, 2) \), а затем в \( (-1, 2) \). В результате график функции \( y = g(-3x) \) будет отражённым и сжатым по горизонтали в 3 раза по сравнению с исходным графиком.