ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 4.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Используя график функции \( y = [x] \), постройте графики функций \( y = \frac{1}{2}[x] \) и \( y = -2[x] \).

Для построения графика функции \( y = \frac{1}{2}[x] \) возьмем график \( y = [x] \) и сожмем его в 2 раза к оси ординат, так как коэффициент \( \frac{1}{2} \) уменьшает значения функции вдвое. Каждый «ступенчатый» участок графика \( y = [x] \) будет иметь высоту 0.5 вместо 1.

Для построения графика функции \( y = -2[x] \) возьмем график \( y = [x] \), отразим его относительно оси абсцисс (что даст \( y = -[x] \)), а затем растянем в 2 раза по оси ординат из-за коэффициента 2. Это значит, что каждый участок графика будет иметь высоту, увеличенную вдвое, и будет направлен вниз из-за отрицательного знака.

1) Для построения графика функции \( y = \frac{1}{2}[x] \) необходимо начать с графика базовой функции \( y = [x] \), которая представляет собой ступенчатую функцию, где \( [x] \) обозначает целую часть числа \( x \). Это значит, что для каждого интервала \( [n, n+1) \), где \( n \) — целое число, значение функции равно \( n \). Например, при \( x \) от 0 до 1 (не включая 1) значение \( y = 0 \), при \( x \) от 1 до 2 (не включая 2) значение \( y = 1 \), и так далее.

Теперь применим преобразование для получения \( y = \frac{1}{2}[x] \). Коэффициент \( \frac{1}{2} \) указывает на сжатие графика по оси ординат в 2 раза. Это означает, что все значения функции \( y = [x] \) уменьшаются вдвое. Например, если на участке \( x \in [0, 1) \) было \( y = 0 \), то теперь \( y = 0 \); если на участке \( x \in [1, 2) \) было \( y = 1 \), то теперь \( y = \frac{1}{2} \); если на участке \( x \in [2, 3) \) было \( y = 2 \), то теперь \( y = 1 \), и так далее. Таким образом, высота каждой ступеньки становится равной \( \frac{1}{2} \) вместо 1, а график выглядит как сжатый по вертикали.

Итак, график функции \( y = \frac{1}{2}[x] \) представляет собой ступенчатую функцию, где на каждом интервале \( [n, n+1) \) значение \( y = \frac{n}{2} \), при этом точки разрыва остаются на тех же местах, что и у исходной функции, то есть в целых значениях \( x \).

2) Для построения графика функции \( y = -2[x] \) снова начнем с графика базовой функции \( y = [x] \). Как и в предыдущем случае, это ступенчатая функция с высотой ступенек, равной 1, на каждом интервале \( [n, n+1) \).

Первым шагом применим отражение относительно оси абсцисс, чтобы получить \( y = -[x] \). Это означает, что все значения функции меняют знак: если на участке \( x \in [0, 1) \) было \( y = 0 \), то теперь \( y = 0 \); если на участке \( x \in [1, 2) \) было \( y = 1 \), то теперь \( y = -1 \); если на участке \( x \in [2, 3) \) было \( y = 2 \), то теперь \( y = -2 \), и так далее. Таким образом, график переворачивается вниз относительно оси \( x \).

Далее применим растяжение по оси ординат в 2 раза из-за коэффициента 2, чтобы получить \( y = -2[x] \). Это означает, что все значения функции \( y = -[x] \) умножаются на 2. Например, если на участке \( x \in [1, 2) \) было \( y = -1 \), то теперь \( y = -2 \); если на участке \( x \in [2, 3) \) было \( y = -2 \), то теперь \( y = -4 \), и так далее. Таким образом, высота каждой ступеньки увеличивается в 2 раза (по модулю), и график остается направленным вниз.

Итоговый график функции \( y = -2[x] \) представляет собой ступенчатую функцию, где на каждом интервале \( [n, n+1) \) значение \( y = -2n \), а точки разрыва остаются в тех же местах, что и у исходной функции, то есть в целых значениях \( x \).