ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 5.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции \( y = 2^x \). Используя этот график, постройте график функции:

1) \( y = 2^x — 1 \);

2) \( y = 2^{x + 1} \);

3) \( y = 2^x + 6 \).

1) Для построения графика функции \( y = 2^x — 1 \) необходимо сдвинуть график функции \( y = 2^x \) вниз на 1 единицу, так как вычитание 1 уменьшает значение функции на 1 для каждого \( x \).

2) Для построения графика функции \( y = 2^{x + 1} \) нужно сдвинуть график функции \( y = 2^x \) влево на 1 единицу, поскольку добавление 1 к аргументу \( x \) эквивалентно сдвигу графика влево.

3) Для построения графика функции \( y = 2^x + 6 \) следует сдвинуть график функции \( y = 2^x \) вверх на 6 единиц, так как прибавление 6 увеличивает значение функции на 6 для каждого \( x \).

1) Для построения графика функции \( y = 2^x — 1 \) начнем с базового графика функции \( y = 2^x \). Эта функция является экспоненциальной с основанием 2, и ее график проходит через точки \( (0, 1) \), \( (1, 2) \), \( (-1, \frac{1}{2}) \) и так далее. Чтобы получить график функции \( y = 2^x — 1 \), необходимо сдвинуть исходный график вниз на 1 единицу. Это связано с тем, что вычитание 1 из значения функции уменьшает каждую ординату на 1. Таким образом, точка \( (0, 1) \) переместится в \( (0, 0) \), точка \( (1, 2) \) станет \( (1, 1) \), а точка \( (-1, \frac{1}{2}) \) превратится в \( (-1, -\frac{1}{2}) \). Асимптота графика, которая была на уровне \( y = 0 \), теперь будет на уровне \( y = -1 \), так как весь график опустился вниз.

2) Для построения графика функции \( y = 2^{x + 1} \) снова возьмем базовый график функции \( y = 2^x \). Здесь преобразование затрагивает аргумент функции: добавление 1 к \( x \) означает сдвиг графика влево на 1 единицу. Это происходит потому, что для каждого значения \( x \) функция теперь принимает значение, которое раньше соответствовало \( x + 1 \). Например, точка \( (0, 1) \) на исходном графике соответствует значению функции при \( x = 0 \), но в новой функции это значение достигается при \( x = -1 \), так как \( 2^{-1 + 1} = 2^0 = 1 \). Аналогично, точка \( (1, 2) \) сдвигается в \( (0, 2) \), а точка \( (-1, \frac{1}{2}) \) перемещается в \( (-2, \frac{1}{2}) \). Асимптота остается на уровне \( y = 0 \), так как сдвиг происходит только по горизонтали.

3) Для построения графика функции \( y = 2^x + 6 \) опять используем график функции \( y = 2^x \). В данном случае к значению функции прибавляется 6, что означает сдвиг графика вверх на 6 единиц. Каждая точка исходного графика поднимается по вертикали на 6. Например, точка \( (0, 1) \) становится точкой \( (0, 7) \), точка \( (1, 2) \) превращается в \( (1, 8) \), а точка \( (-1, \frac{1}{2}) \) перемещается в \( (-1, 6.5) \). Асимптота, которая была на уровне \( y = 0 \), теперь находится на уровне \( y = 6 \), так как весь график поднялся вверх на 6 единиц.