ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 5.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сколько корней в зависимости от значения параметра \( a \) имеет уравнение \( |x — a| = 1 — x \)?

1) Графики функций \(y = \sqrt{x}\) и \(y = 1 — x\) пересекаются в точке \((1, 0)\).

2) График функции \(y = \sqrt{x — a}\) является параллельным переносом графика функции \(y = \sqrt{x}\) на \(a\) единиц вдоль положительного направления оси абсцисс.

3) Если \(a < 1\), то график функции \(y = \sqrt{x — a}\) пересекает горизонтальную прямую \(y = 1 — x\) в одной точке, следовательно, уравнение \(|\sqrt{x — a} — 1| = 1 — x\) имеет один корень.

4) Если \(a > 1\), то график функции \(y = \sqrt{x — a}\) не пересекает горизонтальную прямую \(y = 1 — x\), следовательно, уравнение \(|\sqrt{x — a} — 1| = 1 — x\) не имеет корней.

Рассматриваем уравнение \( \sqrt{x-a}=1-x \). Сначала определяем область допустимых значений, чтобы последующее возведение в квадрат было корректным и не породило лишних корней. Левая часть корня требует \( x-a\ge 0 \Rightarrow x\ge a \). Правая часть \(1-x\) должна быть неотрицательна, иначе равенство с корнем невозможна: \( 1-x\ge 0 \Rightarrow x\le 1 \). Объединяя, получаем двойное условие \( a\le x\le 1 \). Это означает, что любые найденные по алгебраическим преобразованиям решения необходимо проверять на принадлежность этому отрезку, иначе они будут являться посторонними.

При выполнении условия \( x\le 1 \) можно безопасно возвести обе части в квадрат, потому что правая часть неотрицательна. Получаем равносильное уравнение \( x-a=(1-x)^{2} \). Раскрывая квадрат, имеем \( x-a=1-2x+x^{2} \). Переносим всё в одну сторону: \( x^{2}-3x+(1+a)=0 \). Это квадратное уравнение с параметром \( a \). Его дискриминант равен \( D= (-3)^{2}-4\cdot 1\cdot (1+a)=9-4-4a=5-4a \). Следовательно, действительные корни есть только при \( D\ge 0 \Rightarrow 5-4a\ge 0 \Rightarrow a\le \tfrac{5}{4} \). Формулы корней дают \( x=\tfrac{3\pm \sqrt{5-4a}}{2} \). Далее учитываем ограничение \( x\le 1 \). Подставляя, видим, что корень с плюсом \( x_{+}=\tfrac{3+\sqrt{5-4a}}{2} \) всегда строго больше \( \tfrac{3}{2} \), то есть превышает \( 1 \), поэтому он не может удовлетворять исходному уравнению из‑за нарушения условия \( x\le 1 \). Остаётся потенциальный корень \( x_{-}=\tfrac{3-\sqrt{5-4a}}{2} \), который мы дополнительно проверяем на неравенство \( x\ge a \).

Проверим условие \( x_{-}\ge a \). Получаем неравенство \( \tfrac{3-\sqrt{5-4a}}{2}\ge a \Rightarrow 3-\sqrt{5-4a}\ge 2a \Rightarrow \sqrt{5-4a}\le 3-2a \). Правая часть должна быть неотрицательна, иначе неравенство невозможно, то есть \( 3-2a\ge 0 \Rightarrow a\le \tfrac{3}{2} \), что совместимо с \( a\le \tfrac{5}{4} \). Возведём обе части в квадрат, учитывая неотрицательность обеих сторон при \( a\le 1 \): \( 5-4a\le (3-2a)^{2}=9-12a+4a^{2} \Rightarrow 0\le 4a^{2}-8a+4=4(a-1)^{2} \), что истинно при любом \( a \) и даёт равенство только при \( a=1 \). Таким образом, реальным ограничением на параметр остаётся необходимость неотрицательности правой части \( 3-2a\ge 0 \Rightarrow a\le \tfrac{3}{2} \) и дискриминанта \( a\le \tfrac{5}{4} \); совместно они дают \( a\le \tfrac{5}{4} \). Однако, чтобы корень действительно принадлежал исходной области \( a\le x\le 1 \), проверим верхнюю границу: \( x_{-}\le 1 \Rightarrow \tfrac{3-\sqrt{5-4a}}{2}\le 1 \Rightarrow 3-\sqrt{5-4a}\le 2 \Rightarrow \sqrt{5-4a}\ge 1 \Rightarrow 5-4a\ge 1 \Rightarrow a\le 1 \). Это более жёсткое условие и именно оно определяет существование решения исходного уравнения.

Итак, при \( a\le 1 \) существует ровно один корень, причём он равен \( x=\tfrac{3-\sqrt{5-4a}}{2} \), и он автоматически удовлетворяет \( a\le x\le 1 \) и исходному равенству без появления посторонних решений. При \( a>1 \) условие области \( x\le 1 \) вступает в противоречие с требованием \( x\ge a \), поскольку тогда \( x\ge a>1 \), а значит одновременно \( x\le 1 \) невозможно; следовательно, решений нет, то есть множество решений равно \( \emptyset \).