ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 5.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Прямые \( m \) и \( n \), изображённые на рисунке 5.19, параллельны, причём прямая \( n \) является графиком функции \( y = f(x) \). Какое из утверждений верно:

1) прямая \( m \) является графиком функции \( y = f(x) + b \);

2) прямая \( m \) является графиком функции \( y = f(x — a) \)?

1) Для построения графика функции \( y = x^2 — 3 \), возьмем график \( y = x^2 \) и сместим его вниз на 3 единицы, так как вычитание 3 уменьшает значения \( y \).

2) Для графика \( y = x^2 + 4 \), сместим график \( y = x^2 \) вверх на 4 единицы, так как добавление 4 увеличивает значения \( y \).

3) Для графика \( y = (x — 5)^2 \), сместим график \( y = x^2 \) вправо на 5 единиц, так как аргумент \( x — 5 \) указывает на смещение вершины параболы.

4) Для графика \( y = (x + 2)^2 \), сместим график \( y = x^2 \) влево на 2 единицы, так как аргумент \( x + 2 \) сдвигает вершину параболы влево.

5) Для графика \( y = (x — 1)^2 + 2 \), сместим график \( y = x^2 \) вправо на 1 единицу из-за \( x — 1 \), а затем вверх на 2 единицы из-за добавления 2.

6) Для графика \( y = (x + 3)^2 — 2 \), сместим график \( y = x^2 \) влево на 3 единицы из-за \( x + 3 \), а затем вниз на 2 единицы из-за вычитания 2.

1) Рассмотрим построение графика функции \( y = x^2 — 3 \). Базовая функция \( y = x^2 \) представляет собой параболу с вершиной в начале координат \( (0, 0) \), ветви которой направлены вверх. Чтобы получить график функции \( y = x^2 — 3 \), необходимо сместить график базовой функции вниз на 3 единицы по оси \( y \). Это происходит потому, что вычитание константы из функции уменьшает все значения \( y \) на эту величину. Таким образом, вершина параболы перемещается из точки \( (0, 0) \) в точку \( (0, -3) \). Например, если при \( x = 0 \) в базовой функции \( y = 0^2 = 0 \), то в новой функции \( y = 0^2 — 3 = -3 \). Аналогично, при \( x = 1 \), было \( y = 1^2 = 1 \), а стало \( y = 1^2 — 3 = -2 \). График сохраняет форму параболы, но смещен вниз.

2) Теперь построим график функции \( y = x^2 + 4 \). Исходная функция \( y = x^2 \) имеет вершину в точке \( (0, 0) \). Для получения графика новой функции необходимо сместить базовый график вверх на 4 единицы по оси \( y \), так как добавление константы увеличивает значения \( y \). Вершина параболы перемещается в точку \( (0, 4) \). Например, при \( x = 0 \), значение \( y = 0^2 + 4 = 4 \), а при \( x = 1 \), значение \( y = 1^2 + 4 = 5 \). Форма параболы остается неизменной, изменяется только ее положение по вертикали.

3) Перейдем к функции \( y = (x — 5)^2 \). Базовый график \( y = x^2 \) трансформируется путем смещения вправо на 5 единиц по оси \( x \). Это происходит из-за того, что в аргументе функции стоит выражение \( x — 5 \), которое указывает на горизонтальное смещение. Вершина параболы, которая была в \( (0, 0) \), теперь находится в точке \( (5, 0) \). Например, при \( x = 5 \), значение \( y = (5 — 5)^2 = 0 \), а при \( x = 6 \), значение \( y = (6 — 5)^2 = 1 \). График остается параболой, но сдвинут вправо.

4) Для функции \( y = (x + 2)^2 \) базовый график \( y = x^2 \) смещается влево на 2 единицы по оси \( x \). Это связано с тем, что аргумент \( x + 2 \) эквивалентен \( x — (-2) \), что указывает на смещение влево. Вершина параболы перемещается из \( (0, 0) \) в точку \( (-2, 0) \). Например, при \( x = -2 \), значение \( y = (-2 + 2)^2 = 0 \), а при \( x = -1 \), значение \( y = (-1 + 2)^2 = 1 \). Форма графика не меняется, только его положение по горизонтали.

5) Рассмотрим функцию \( y = (x — 1)^2 + 2 \). Здесь требуется два преобразования базового графика \( y = x^2 \). Сначала смещаем график вправо на 1 единицу из-за аргумента \( x — 1 \), что перемещает вершину из \( (0, 0) \) в \( (1, 0) \). Затем смещаем график вверх на 2 единицы из-за добавления константы 2, в результате чего вершина оказывается в точке \( (1, 2) \). Например, при \( x = 1 \), значение \( y = (1 — 1)^2 + 2 = 2 \), а при \( x = 2 \), значение \( y = (2 — 1)^2 + 2 = 3 \). График сохраняет форму параболы с двойным смещением.

6) Наконец, для функции \( y = (x + 3)^2 — 2 \) также выполняем два преобразования. Сначала смещаем базовый график \( y = x^2 \) влево на 3 единицы из-за аргумента \( x + 3 \), что эквивалентно \( x — (-3) \), перемещая вершину в точку \( (-3, 0) \). Затем смещаем график вниз на 2 единицы из-за вычитания 2, в результате вершина оказывается в точке \( (-3, -2) \). Например, при \( x = -3 \), значение \( y = (-3 + 3)^2 — 2 = -2 \), а при \( x = -2 \), значение \( y = (-2 + 3)^2 — 2 = -1 \). График остается параболой, но сдвинут по обеим осям.