ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 5.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции \( y = -x^2 \). Используя этот график, постройте график функции:

1) \( y = -x^2 + 1 \);

2) \( y = -(x — 2)^2 \);

3) \( y = -(x + 1)^2 — 1 \);

4) \( y = -(x — 3)^2 + 4 \).

1) Для построения графика функции \( y = -x^2 + 1 \), начнем с базового графика \( y = -x^2 \), который является параболой, открытой вниз с вершиной в точке (0, 0). Сдвигаем график на 1 единицу вверх, так как добавляется +1. Вершина теперь в точке (0, 1).

2) Для функции \( y = -(x — 2)^2 \), берем базовый график \( y = -x^2 \) и сдвигаем его на 2 единицы вправо из-за (x — 2). Вершина перемещается в точку (2, 0).

3) Для функции \( y = -(x + 1)^2 — 1 \), начинаем с \( y = -x^2 \), сдвигаем график на 1 единицу влево из-за (x + 1), а затем на 1 единицу вниз из-за -1. Вершина теперь в точке (-1, -1).

4) Для функции \( y = -(x — 3)^2 + 4 \), используем базовый график \( y = -x^2 \), сдвигаем его на 3 единицы вправо из-за (x — 3) и на 4 единицы вверх из-за +4. Вершина находится в точке (3, 4).

1) Рассмотрим построение графика функции \( y = -x^2 + 1 \). Начнем с базовой функции \( y = -x^2 \), которая представляет собой параболу, открытую вниз, с вершиной в точке (0, 0). Чтобы получить график \( y = -x^2 + 1 \), необходимо сдвинуть базовый график на 1 единицу вверх вдоль оси \( y \), так как к функции добавляется константа +1. Таким образом, вершина параболы перемещается в точку (0, 1). Для построения графика можно взять несколько точек: например, при \( x = 0 \), \( y = 1 \); при \( x = 1 \), \( y = -1^2 + 1 = 0 \); при \( x = -1 \), \( y = 0 \); при \( x = 2 \), \( y = -2^2 + 1 = -3 \); при \( x = -2 \), \( y = -3 \). Соединяя эти точки плавной кривой, получаем параболу с вершиной в (0, 1), открытую вниз.

2) Теперь перейдем к функции \( y = -(x — 2)^2 \). Исходная функция \( y = -x^2 \) имеет вершину в (0, 0) и открыта вниз. В данном случае происходит сдвиг графика вправо на 2 единицы из-за выражения \( (x — 2) \), которое указывает на горизонтальное смещение. Таким образом, вершина параболы перемещается в точку (2, 0). Для построения графика вычислим несколько точек: при \( x = 2 \), \( y = -(2 — 2)^2 = 0 \); при \( x = 3 \), \( y = -(3 — 2)^2 = -1 \); при \( x = 1 \), \( y = -(1 — 2)^2 = -1 \); при \( x = 4 \), \( y = -(4 — 2)^2 = -4 \); при \( x = 0 \), \( y = -(0 — 2)^2 = -4 \). Соединяя точки, получаем параболу с вершиной в (2, 0), открытую вниз.

3) Рассмотрим функцию \( y = -(x + 1)^2 — 1 \). Начнем снова с базовой функции \( y = -x^2 \). Выражение \( (x + 1) \) указывает на сдвиг графика влево на 1 единицу, а константа -1 означает сдвиг вниз на 1 единицу. Таким образом, вершина параболы перемещается из (0, 0) в точку (-1, -1). Для построения графика возьмем несколько значений \( x \): при \( x = -1 \), \( y = -(-1 + 1)^2 — 1 = -1 \); при \( x = 0 \), \( y = -(0 + 1)^2 — 1 = -2 \); при \( x = -2 \), \( y = -(-2 + 1)^2 — 1 = -2 \); при \( x = 1 \), \( y = -(1 + 1)^2 — 1 = -5 \); при \( x = -3 \), \( y = -(-3 + 1)^2 — 1 = -5 \). Соединяя эти точки, получаем параболу с вершиной в (-1, -1), открытую вниз.

4) Наконец, построим график функции \( y = -(x — 3)^2 + 4 \). Исходная функция \( y = -x^2 \) сдвигается вправо на 3 единицы из-за \( (x — 3) \), а затем вверх на 4 единицы из-за +4. Таким образом, вершина параболы перемещается в точку (3, 4). Для построения графика вычислим несколько точек: при \( x = 3 \), \( y = -(3 — 3)^2 + 4 = 4 \); при \( x = 4 \), \( y = -(4 — 3)^2 + 4 = 3 \); при \( x = 2 \), \( y = -(2 — 3)^2 + 4 = 3 \); при \( x = 5 \), \( y = -(5 — 3)^2 + 4 = 0 \); при \( x = 1 \), \( y = -(1 — 3)^2 + 4 = 0 \). Соединяя точки плавной кривой, получаем параболу с вершиной в (3, 4), открытую вниз.