ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 5.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции \( y = \frac{8}{x} \). Используя этот график, постройте график функции:

1) \( y = \frac{8}{x — 4} + 5 \);

2) \( y = \frac{8}{x — 2} \);

3) \( y = \frac{8}{x + 4} — 2 \).

1) Для построения графика функции \( y = \frac{8}{x — 4} + 5 \) возьмем базовый график \( y = \frac{8}{x} \), сдвинем его вправо на 4 единицы (из-за \( x — 4 \)) и вверх на 5 единиц (из-за +5).

2) Для графика функции \( y = \frac{8}{x — 2} \) возьмем базовый график \( y = \frac{8}{x} \) и сдвинем его вправо на 2 единицы (из-за \( x — 2 \)).

3) Для графика функции \( y = \frac{8}{x + 4} — 2 \) возьмем базовый график \( y = \frac{8}{x} \), сдвинем его влево на 4 единицы (из-за \( x + 4 \)) и вниз на 2 единицы (из-за -2).

1) Рассмотрим построение графика функции \( y = \frac{8}{x — 4} + 5 \). Начнем с базового графика функции \( y = \frac{8}{x} \), который представляет собой гиперболу с асимптотами по осям \( x = 0 \) и \( y = 0 \). График проходит через точки \( (1, 8) \), \( (2, 4) \), \( (4, 2) \), \( (8, 1) \) в первой четверти и симметрично через точки \( (-1, -8) \), \( (-2, -4) \) в третьей четверти.

Теперь применим преобразования. Сначала сдвинем график вправо на 4 единицы, заменяя \( x \) на \( x — 4 \). Это означает, что каждая точка графика сдвигается по оси \( x \) на 4 единицы вправо. Например, точка \( (1, 8) \) становится \( (5, 8) \), а точка \( (2, 4) \) — \( (6, 4) \). Асимптота \( x = 0 \) сдвигается в \( x = 4 \).

Далее сдвинем график вверх на 5 единиц, прибавляя 5 к значению \( y \). Это вертикальное смещение, при котором к каждой точке добавляется 5 по оси \( y \). Точка \( (5, 8) \) становится \( (5, 13) \), а точка \( (6, 4) \) — \( (6, 9) \). Асимптота \( y = 0 \) сдвигается в \( y = 5 \). Таким образом, график функции \( y = \frac{8}{x — 4} + 5 \) имеет асимптоты \( x = 4 \) и \( y = 5 \).

2) Перейдем к построению графика функции \( y = \frac{8}{x — 2} \). Снова начнем с базового графика \( y = \frac{8}{x} \), описанного ранее. Применяем горизонтальный сдвиг вправо на 2 единицы, заменяя \( x \) на \( x — 2 \). Это означает, что каждая точка графика сдвигается по оси \( x \) на 2 единицы вправо.

Например, точка \( (1, 8) \) становится \( (3, 8) \), а точка \( (2, 4) \) — \( (4, 4) \). Асимптота \( x = 0 \) сдвигается в \( x = 2 \), а асимптота \( y = 0 \) остается без изменений, так как вертикального сдвига нет. Таким образом, график функции \( y = \frac{8}{x — 2} \) имеет асимптоты \( x = 2 \) и \( y = 0 \).

3) Наконец, построим график функции \( y = \frac{8}{x + 4} — 2 \). Начнем с базового графика \( y = \frac{8}{x} \). Сначала применим горизонтальный сдвиг влево на 4 единицы, так как в выражении \( x + 4 \) эквивалентно замене \( x \) на \( x + 4 \). Это означает, что каждая точка сдвигается по оси \( x \) на 4 единицы влево.

Например, точка \( (1, 8) \) становится \( (-3, 8) \), а точка \( (2, 4) \) — \( (-2, 4) \). Асимптота \( x = 0 \) сдвигается в \( x = -4 \). Затем применим вертикальный сдвиг вниз на 2 единицы, вычитая 2 из значения \( y \). Точка \( (-3, 8) \) становится \( (-3, 6) \), а точка \( (-2, 4) \) — \( (-2, 2) \). Асимптота \( y = 0 \) сдвигается в \( y = -2 \). Таким образом, график функции \( y = \frac{8}{x + 4} — 2 \) имеет асимптоты \( x = -4 \) и \( y = -2 \).