ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 6.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра \(a\):

1) \(||x| — 1| = a\);

2) \(|(|x| — 1)^2 — 1| = a\);

3) \(|\sqrt{x-2}| = a\)?

Для первого уравнения \(||x|-1|=a\):

Если \(a<0\), то \(\emptyset\)

Если \(a=0\) или \(a>1\), то 2 корня

Если \(a=1\), то 3 корня

Если \(0<a<1\), то 4 корня

Для второго уравнения \(|(|x|-1)^{2}-1|=a\):

Если \(a<0\), то \(\emptyset\)

Если \(a>1\), то 2 корня

Если \(a=0\), то 3 корня

Если \(a=1\), то 4 корня

Если \(0<a<1\), то 6 корней

Для третьего уравнения \(|\sqrt{x-2}|=a\):

Если \(a<0\), то \(\emptyset\)

Если \(a=0\) или \(a>2\), то 1 корень

Если \(0<a\leq2\), то 2 корня

1. \(||x|-1|=a\)

Рассмотрим внутренний модуль: \(|x|-1\). Пусть \(y=|x|\), тогда уравнение примет вид \(|y-1|=a\). Это означает, что \(y-1=a\) или \(y-1=-a\), то есть \(y=1+a\) или \(y=1-a\). Но \(y=|x|\geq0\), поэтому \(1+a\geq0\) и \(1-a\geq0\), то есть \(a\geq-1\) и \(a\leq1\).

Рассмотрим варианты:

Если \(a<0\), то по определению модуля решений нет, так как модуль не может быть отрицательным: \(\emptyset\).

Если \(a=0\): \(|x|-1=0\Rightarrow|x|=1\Rightarrow x=1\) или \(x=-1\), два корня.

Если \(0<a<1\): \(|x|-1=a\Rightarrow|x|=1+a\Rightarrow x=1+a\) или \(x=-(1+a)\), \(|x|-1=-a\Rightarrow|x|=1-a\Rightarrow x=1-a\) или \(x=-(1-a)\). Всего четыре корня. Если \(a=1\): \(|x|-1=1\Rightarrow|x|=2\Rightarrow x=2\) или \(x=-2\), \(|x|-1=-1\Rightarrow|x|=0\Rightarrow x=0\). Всего три корня. Если \(a>1\): \(|x|-1=a\Rightarrow|x|=1+a\Rightarrow x=1+a\) или \(x=-(1+a)\), но \(|x|-1=-a\Rightarrow|x|=1-a\), а \(1-a<0\), поэтому только два корня.

2. \(|(|x|-1)^{2}-1|=a\)

Пусть \(y=|x|\geq0\), тогда уравнение примет вид \(|(y-1)^{2}-1|=a\).

Рассмотрим внутреннее выражение: \((y-1)^{2}-1=z\), тогда \(|z|=a\Rightarrow z=a\) или \(z=-a\).

Рассмотрим оба случая:

Первый: \((y-1)^{2}-1=a\Rightarrow(y-1)^{2}=a+1\Rightarrow y-1=\pm\sqrt{a+1}\Rightarrow y=1+\sqrt{a+1}\) или \(y=1-\sqrt{a+1}\), причем \(a+1\geq0\).

Второй: \((y-1)^{2}-1=-a\Rightarrow(y-1)^{2}=1-a\Rightarrow y-1=\pm\sqrt{1-a}\Rightarrow y=1+\sqrt{1-a}\) или \(y=1-\sqrt{1-a}\), причем \(1-a\geq0\).

Теперь учитываем, что \(y=|x|\geq0\), и каждое значение \(y\) дает два значения \(x\), кроме случая \(y=0\), где только \(x=0\).

Если \(a<0\), решений нет: \(\emptyset\). Если \(a>1\): \(a+1>1\), \(\sqrt{a+1}>1\), \(y=1+\sqrt{a+1}>0\), \(y=1-\sqrt{a+1}<0\) (не подходит), \(1-a<0\), поэтому только два корня.

Если \(a=0\): \((y-1)^{2}-1=0\Rightarrow(y-1)^{2}=1\Rightarrow y-1=1\) или \(y-1=-1\Rightarrow y=2\) или \(y=0\). Значит, \(x=2\), \(x=-2\), \(x=0\). Три корня.

Если \(a=1\): \((y-1)^{2}-1=1\Rightarrow(y-1)^{2}=2\Rightarrow y-1=\sqrt{2}\) или \(y-1=-\sqrt{2}\Rightarrow y=1+\sqrt{2}\) или \(y=1-\sqrt{2}\), оба положительны. \((y-1)^{2}-1=-1\Rightarrow(y-1)^{2}=2\), то же самое. Всего четыре корня.

Если \(0<a<1\): оба выражения дают по два положительных значения \(y\), всего четыре значения \(y\), каждое кроме \(y=0\) дает два значения \(x\), если среди них есть \(y=0\), то только один корень. Всего шесть корней.

3. \(|\sqrt{x-2}|=a\)

Рассмотрим область определения: \(x-2\geq0\Rightarrow x\geq2\).

Модуль равен \(a\), то есть \(\sqrt{x-2}=a\) или \(\sqrt{x-2}=-a\). Но \(\sqrt{x-2}\geq0\), поэтому второй случай возможен только при \(a=0\).

Если \(a<0\), решений нет: \(\emptyset\). Если \(a=0\): \(\sqrt{x-2}=0\Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2\), один корень. Если \(a>0\): \(\sqrt{x-2}=a\Rightarrow x-2=a^{2}\Rightarrow x=a^{2}+2\). Если \(a>2\), то \(x>6\), один корень.

Если \(0<a\leq2\), \(\sqrt{x-2}=a\Rightarrow x=a^{2}+2\), а также \(\sqrt{x-2}=-a\), но это возможно только при \(a=0\). Поэтому для \(0<a\leq2\) два корня: \(x=a^{2}+2\) и \(x=2\).