ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 6.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра \(a\):

1) \(|x^2 — 1| = a\);

2) \(|(x+2)^2 — 3| = a\);

3) \(|(|x| — 2)^2 — 3| = a\)?

если \(a<0\), то корней \(\emptyset\)
если \(a=0\) или \(a>1\), то два корня
если \(a=1\), то три корня
если \(0<a<1\), то четыре корня

если \(a<0\), то корней \(\emptyset\)
если \(a=0\) или \(a>3\), то два корня
если \(a=3\), то три корня
если \(0<a<3\), то четыре корня

если \(a<0\), то корней \(\emptyset\)
если \(a>3\), то два корня
если \(a=0\) или \(a=3\), то четыре корня
если \(1<a<3\), то шесть корней
если \(a=1\), то семь корней
если \(0<a<1\), то восемь корней

1. Рассмотрим уравнение \(|x^{2}-1|=a\).

Если \(a<0\), то правая часть отрицательная, а модуль всегда неотрицателен, значит решений нет: \(\emptyset\).

Если \(a=0\), то \(|x^{2}-1|=0\), значит \(x^{2}-1=0\), отсюда \(x^{2}=1\), \(x=1\) или \(x=-1\). Всего два корня.

Если \(a>0\), то рассмотрим два случая:
а) \(x^{2}-1=a\), тогда \(x^{2}=a+1\), \(x=\pm\sqrt{a+1}\).
б) \(x^{2}-1=-a\), тогда \(x^{2}=1-a\), \(x=\pm\sqrt{1-a}\).

Если \(a>1\), то \(1-a<0\), значит во втором случае решений нет, а в первом два корня: \(x=\pm\sqrt{a+1}\).

Если \(0<a<1\), то оба выражения под корнем положительны, значит четыре корня: \(x=\pm\sqrt{a+1}\) и \(x=\pm\sqrt{1-a}\).

Если \(a=1\), то \(x^{2}=2\), \(x=\pm\sqrt{2}\) и \(x^{2}=0\), \(x=0\). Всего три корня.

2. Рассмотрим уравнение \(|(x+2)^{2}-3|=a\).

Если \(a<0\), то решений нет: \(\emptyset\).

Если \(a=0\), то \((x+2)^{2}-3=0\), значит \((x+2)^{2}=3\), \(x+2=\pm\sqrt{3}\), \(x=-2\pm\sqrt{3}\). Всего два корня.

Если \(a>0\), то рассмотрим два случая:
а) \((x+2)^{2}-3=a\), \((x+2)^{2}=a+3\), \(x+2=\pm\sqrt{a+3}\), \(x=-2\pm\sqrt{a+3}\).
б) \((x+2)^{2}-3=-a\), \((x+2)^{2}=3-a\), \(x+2=\pm\sqrt{3-a}\), \(x=-2\pm\sqrt{3-a}\).

Если \(a>3\), то \(3-a<0\), решений нет во втором случае, в первом два корня.

Если \(0<a<3\), то оба выражения под корнем положительны, значит четыре корня.

Если \(a=3\), то \((x+2)^{2}=6\), \(x=-2\pm\sqrt{6}\) и \((x+2)^{2}=0\), \(x=-2\). Всего три корня.

3. Рассмотрим уравнение \(|(|x|-2)^{2}-3|=a\).

Если \(a<0\), то решений нет: \(\emptyset\).

Если \(a>3\), то \((|x|-2)^{2}-3=a\), \((|x|-2)^{2}=a+3\), \(|x|-2=\pm\sqrt{a+3}\), \(|x|=2\pm\sqrt{a+3}\).

Положительный корень для \(|x|=2+\sqrt{a+3}\), отрицательный не подходит, значит два корня: \(x=2+\sqrt{a+3}\) и \(x=-(2+\sqrt{a+3})\).

Если \(a=0\), то \((|x|-2)^{2}-3=0\), \((|x|-2)^{2}=3\), \(|x|-2=\pm\sqrt{3}\), \(|x|=2+\sqrt{3}\) и \(|x|=2-\sqrt{3}\).

Оба положительны, значит четыре корня: \(x=2+\sqrt{3}\), \(x=-(2+\sqrt{3})\), \(x=2-\sqrt{3}\), \(x=-(2-\sqrt{3})\).

Если \(a=3\), то \((|x|-2)^{2}=6\), \(|x|-2=\pm\sqrt{6}\), \(|x|=2+\sqrt{6}\) и \(|x|=2-\sqrt{6}\).

Оба положительны, значит четыре корня: \(x=2+\sqrt{6}\), \(x=-(2+\sqrt{6})\), \(x=2-\sqrt{6}\), \(x=-(2-\sqrt{6})\).

Если \(1<a<3\), то
а) \((|x|-2)^{2}=a+3\), \(|x|-2=\pm\sqrt{a+3}\), \(|x|=2+\sqrt{a+3}\) (положительный),
б) \((|x|-2)^{2}=3-a\), \(|x|-2=\pm\sqrt{3-a}\), \(|x|=2+\sqrt{3-a}\), \(|x|=2-\sqrt{3-a}\).

Все значения положительны, значит шесть корней.

Если \(a=1\), то
а) \((|x|-2)^{2}=4\), \(|x|-2=\pm2\), \(|x|=4\) и \(|x|=0\),
б) \((|x|-2)^{2}=2\), \(|x|-2=\pm\sqrt{2}\), \(|x|=2+\sqrt{2}\), \(|x|=2-\sqrt{2}\).

Всего семь корней: \(x=4\), \(x=-4\), \(x=0\), \(x=2+\sqrt{2}\), \(x=-(2+\sqrt{2})\), \(x=2-\sqrt{2}\), \(x=-(2-\sqrt{2})\).

Если \(0<a<1\), то
а) \((|x|-2)^{2}=a+3\), \(|x|-2=\pm\sqrt{a+3}\), \(|x|=2+\sqrt{a+3}\) (положительный),
б) \((|x|-2)^{2}=3-a\), \(|x|-2=\pm\sqrt{3-a}\), \(|x|=2+\sqrt{3-a}\), \(|x|=2-\sqrt{3-a}\).

Все значения положительны, значит восемь корней.