ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 6.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции:
1) \(y = \frac{1}{x^2 — 2}\);
2) \(y = \left| \frac{4}{x^2 — 2} \right|\);
3) \(y = |1 — |1 — |x|||.\)

1) Построим график функции \(y = \frac{1}{x^{2} — 2}\):

2) Построим график функции \(y = \left| \frac{4}{x^{2} — 2} \right|\):

3) Построим график функции \(y = |1 — |1 — |x||| \):

1) Найдём область определения функции \(y = \frac{1}{x^{2} — 2}\). Знаменатель не должен быть равен нулю: \(x^{2} — 2 \neq 0\), отсюда \(x^{2} \neq 2\), значит \(x \neq \sqrt{2}\) и \(x \neq -\sqrt{2}\). Значит, область определения: все \(x\), кроме \(x = \sqrt{2}\) и \(x = -\sqrt{2}\).

Построим график. При \(x \to \infty\) и \(x \to -\infty\) значение функции стремится к нулю, то есть есть горизонтальная асимптота \(y = 0\). При \(x \to \sqrt{2}^+\) и \(x \to -\sqrt{2}^-\) функция стремится к плюс бесконечности, а при \(x \to \sqrt{2}^-\) и \(x \to -\sqrt{2}^+\) — к минус бесконечности. Вертикальные асимптоты: \(x = \sqrt{2}\) и \(x = -\sqrt{2}\).

2) Найдём область определения функции \(y = \left| \frac{4}{x^{2} — 2} \right|\). Знаменатель не должен быть равен нулю: \(x^{2} — 2 \neq 0\), то есть \(x \neq \sqrt{2}\) и \(x \neq -\sqrt{2}\).

Построим график. Модуль всегда положительный, поэтому график располагается выше оси \(x\). При больших по модулю \(x\) функция стремится к нулю, при \(x\) близких к \(\sqrt{2}\) и \(-\sqrt{2}\) значения стремятся к плюс бесконечности. Вертикальные асимптоты: \(x = \sqrt{2}\) и \(x = -\sqrt{2}\). Горизонтальная асимптота: \(y = 0\).

3) Найдём область определения функции \(y = |1 — |1 — |x||| \). Внутренний модуль: \(|x|\), затем \(|1 — |x||\), затем \(|1 — |1 — |x|||\). Модуль определён при всех \(x\), значит область определения — все действительные числа.

Построим график. Для \(x = 0\): \(|x| = 0\), \(|1 — 0| = 1\), \(|1 — 1| = 0\). Для \(x = 1\): \(|x| = 1\), \(|1 — 1| = 0\), \(|1 — 0| = 1\). Для \(x = 2\): \(|x| = 2\), \(|1 — 2| = 1\), \(|1 — 1| = 0\). Для \(x = 3\): \(|x| = 3\), \(|1 — 3| = 2\), \(|1 — 2| = 1\).

График симметричен относительно оси \(y\), состоит из ломаных линий с вершинами в точках \(x = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\) и так далее.