ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 6.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции:
1) \(y = |x^2 — 4|\);
2) \(y = |2|x| — 4|\);
3) \(y = |||x — 1| — 1| — 1|\).

1) Строим график функции \(y = |x|\), переносим его на 4 вниз: \(y = |x| — 4\). Отражаем часть ниже оси \(x\): \(y = ||x| — 4|\).

2) Строим график функции \(y = |x|\), растягиваем в 2 раза: \(y = 2|x|\), переносим на 4 вниз: \(y = 2|x| — 4\). Отражаем часть ниже оси \(x\): \(y = |2|x| — 4|\).

3) Строим график функции \(y = x — 1\), отражаем часть ниже оси \(x\): \(y = |x — 1|\), переносим на 1 вниз: \(y = |x — 1| — 1\), отражаем часть ниже оси \(x\): \(y = ||x — 1| — 1|\), переносим на 1 вниз: \(y = ||x — 1| — 1| — 1\), отражаем часть ниже оси \(x\): \(y = |||x — 1| — 1| — 1|\).

Функция \(y = x^{2} — 4\) представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, а вершина расположена в точке \((0, -4)\). Найдём пересечения с осью \(x\): приравниваем выражение к нулю, получаем \(x^{2} — 4 = 0\), откуда \(x^{2} = 4\), следовательно, \(x = 2\) и \(x = -2\). Значения функции для \(x\) между этими точками отрицательны, а вне — положительны. После применения модуля, формула становится \(y = |x^{2} — 4|\): части графика ниже оси \(x\) отражаются вверх, и теперь минимум функции достигается в точках \(x = -2\) и \(x = 2\), где \(y = 0\). Для \(x < -2\) и \(x > 2\) график совпадает с исходной параболой, а для \(-2 < x < 2\) он выглядит как перевёрнутая парабола, возрастающая от нуля вверх. Таким образом, функция возрастает по модулю по мере удаления от точек минимума, а график приобретает характерную форму «W».

Рассмотрим функцию \(y = |x|\), которая представляет собой V-образный график с вершиной в начале координат. Растяжение по вертикали в 2 раза приводит к \(y = 2|x|\): график становится более крутым, угол между ветвями увеличивается. Затем переносим график на 4 вниз, получаем \(y = 2|x| — 4\): теперь вершина находится в точке \((0, -4)\). Применяем модуль: \(y = |2|x| — 4|\) — все значения ниже оси \(x\) отражаются вверх. Минимальное значение функции достигается при \(x = 2\) и \(x = -2\), где \(y = |2 \cdot 2 — 4| = |4 — 4| = 0\), аналогично для отрицательного значения. В точке \(x = 0\) получаем \(y = |2 \cdot 0 — 4| = 4\), то есть вершина графика теперь поднята. Итоговый график состоит из двух V-образных участков, соединённых в точках минимума, и симметричен относительно оси \(y\).

Функция \(y = x — 1\) — это прямая, проходящая через точку \((1, 0)\). После применения модуля, получаем \(y = |x — 1|\): график становится V-образным с вершиной в точке \((1, 0)\). Переносим его на 1 вниз: \(y = |x — 1| — 1\), теперь вершина опускается в точку \((1, -1)\). Применяя модуль ещё раз, получаем \(y = ||x — 1| — 1|\): все значения ниже оси \(x\) отражаются вверх, формируя две новые вершины в точках, где выражение внутри второго модуля равно нулю, то есть \(x = 0\) и \(x = 2\). Переносим график на 1 вниз: \(y = ||x — 1| — 1| — 1\), а затем снова применяем модуль: \(y = |||x — 1| — 1| — 1|\). В результате получаем график с минимумами в точках \(x = 0\), \(x = 1\), \(x = 2\), где значение функции равно нулю, а между этими точками график образует характерные ступени, отражающие последовательное применение модуля и сдвигов. Такой график состоит из трёх «ступенек» и симметричен относительно точки \(x = 1\).