ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 6.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \(y = |\sqrt{|x| — 1} — 1|\);

2) \(y = \frac{1}{|x-2| — 1}\);

3) \(y = |\sqrt{|x+2|}|\).

1) \(y = |\sqrt{|x|-1}-1|\)

2) \(y = \frac{1}{|x-2|-1}\)

3) \(y = |\sqrt{|x+2|}|\)

1) Рассмотрим функцию \(y = |\sqrt{|x|-1}-1|\).

Сначала определим область определения: \(|x|-1 \geq 0\), то есть \(|x| \geq 1\). Это выполняется при \(x \geq 1\) или \(x \leq -1\).

Рассмотрим сначала \(x \geq 1\):

\(\sqrt{x-1}-1\) может быть отрицательным или положительным. Найдём точку, где выражение внутри модуля обращается в ноль:

\(\sqrt{x-1}-1=0\Rightarrow x-1=1\Rightarrow x=2\).

Для \(x=1\): \(\sqrt{1-1}-1=0-1=-1\Rightarrow y=1\).

Для \(x=2\): \(\sqrt{2-1}-1=1-1=0\Rightarrow y=0\).

Для \(x>2\): \(\sqrt{x-1}-1>0\), поэтому модуль не влияет:

\(y=\sqrt{x-1}-1\).

Для \(1 \leq x < 2\): \(\sqrt{x-1}-1<0\), поэтому:

\(y=-(\sqrt{x-1}-1)=1-\sqrt{x-1}\).

Аналогично для \(x \leq -1\):

\(|x|=-x\), поэтому подставляем:

Для \(x \leq -1\):

\(\sqrt{-x-1}-1\).

Для \(x=-1\): \(\sqrt{-(-1)-1}-1=\sqrt{1-1}-1=0-1=-1\Rightarrow y=1\).

Для \(x=-2\): \(\sqrt{2-1}-1=1-1=0\Rightarrow y=0\).

Для \(x<-2\): \(\sqrt{-x-1}-1>0\), поэтому:

\(y=\sqrt{-x-1}-1\).

Для \(-2 < x \leq -1\): \(\sqrt{-x-1}-1<0\), поэтому:

\(y=1-\sqrt{-x-1}\).

Область определения: \(x \leq -1\) или \(x \geq 1\).

2) Рассмотрим функцию \(y = \frac{1}{|x-2|-1}\).

Область определения: знаменатель не равен нулю, то есть \(|x-2|-1 \neq 0\), значит \(|x-2| \neq 1\). Это выполняется при \(x \neq 1\) и \(x \neq 3\).

Рассмотрим значения:

Для \(x>3\): \(|x-2|=x-2\), поэтому \(y=\frac{1}{x-2-1}=\frac{1}{x-3}\).

Для \(x<1\): \(|x-2|=-(x-2)=2-x\), поэтому \(y=\frac{1}{2-x-1}=\frac{1}{1-x}\).

Для \(1<x<3\): \(|x-2|=2-x\), поэтому \(y=\frac{1}{2-x-1}=\frac{1}{1-x}\).

Промежутки: \(x<1\), \(1<x<3\), \(x>3\).

В точках \(x=1\) и \(x=3\) функция не определена, там вертикальные асимптоты.

Область определения: \(x \in (-\infty;1) \cup (1;3) \cup (3;+\infty)\).

3) Рассмотрим функцию \(y = |\sqrt{|x+2|}|\).

Область определения: подкоренное выражение неотрицательно для всех \(x\), так как модуль всегда положителен или равен нулю.

Модуль корня всегда неотрицателен, то есть \(y = \sqrt{|x+2|}\).

Для \(x \geq -2\): \(|x+2|=x+2\), поэтому \(y=\sqrt{x+2}\).

Для \(x < -2\): \(|x+2|=-(x+2)=-x-2\), поэтому \(y=\sqrt{-x-2}\).

Область определения: \(x \geq -2\) для первой ветви, \(x < -2\) для второй ветви.

Функция определена для всех \(x\).