ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 6.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \(y = |\sqrt{2|x| — 1} — 1|\);

2) \(y = |\sqrt{|3x + 1|} — 2|\);

3) \(y = |\sqrt{|x| — 3}|\).

1)
Рассмотрим функцию \(y = |\sqrt{2|x| — 1} — 1|\).
Область определения: \(2|x| — 1 \geq 0\), значит \(|x| \geq \frac{1}{2}\).
Для \(x \geq \frac{1}{2}\):
\(y = |\sqrt{2x — 1} — 1|\)
Для \(x \leq -\frac{1}{2}\):
\(y = |\sqrt{2(-x) — 1} — 1| = |\sqrt{-2x — 1} — 1|\)
При \(x = \frac{1}{2}\) и \(x = -\frac{1}{2}\):
\(y = |\sqrt{0} — 1| = |-1| = 1\)
Для больших по модулю \(x\) функция возрастает.
Ответ:
\(y = |\sqrt{2|x| — 1} — 1|\)

2)
Рассмотрим функцию \(y = |\sqrt{|3x + 1|} — 2|\).
Область определения: \(|3x + 1| \geq 0\), выполняется для всех \(x\).
Пусть \(3x + 1 \geq 0\), тогда \(y = |\sqrt{3x + 1} — 2|\).
Пусть \(3x + 1 < 0\), тогда \(y = |\sqrt{-(3x + 1)} — 2|\).
При \(x = -\frac{1}{3}\):
\(y = |\sqrt{0} — 2| = |-2| = 2\)
Для больших по модулю \(x\) функция возрастает.
Ответ:
\(y = |\sqrt{|3x + 1|} — 2|\)

3)
Рассмотрим функцию \(y = |\sqrt{|x| — 3}|\).
Область определения: \(|x| — 3 \geq 0\), значит \(|x| \geq 3\).
При \(x \geq 3\):
\(y = |\sqrt{x — 3}|\)
При \(x \leq -3\):
\(y = |\sqrt{-x — 3}|\)
При \(x = 3\) и \(x = -3\):
\(y = |\sqrt{0}| = 0\)
Для больших по модулю \(x\) функция возрастает.
Ответ:
\(y = |\sqrt{|x| — 3}|\)

1)

Функция \(y = |\sqrt{2|x| — 1} — 1|\) имеет сложную структуру, объединяющую модули, корень и линейные преобразования. Для начала определим область определения. Подкоренное выражение \(2|x| — 1\) должно быть неотрицательным, то есть \(2|x| — 1 \geq 0\). Решая это неравенство, получаем \(2|x| \geq 1\), отсюда \(|x| \geq \frac{1}{2}\). Следовательно, функция определена только для тех значений \(x\), которые удовлетворяют условию \(x \geq \frac{1}{2}\) или \(x \leq -\frac{1}{2}\).

Рассмотрим подробнее поведение функции на каждом из интервалов. Для \(x \geq \frac{1}{2}\) подмодульное выражение раскрывается как \(y = |\sqrt{2x — 1} — 1|\). Здесь подкоренное выражение \(2x — 1\) возрастает при увеличении \(x\), а значит, значение \(\sqrt{2x — 1}\) тоже увеличивается. После вычитания единицы из корня результат может быть как положительным, так и отрицательным, но модуль делает итоговое значение всегда неотрицательным. Аналогично, для \(x \leq -\frac{1}{2}\) имеем \(y = |\sqrt{-2x — 1} — 1|\), где \(-2x — 1\) также возрастает по модулю при уменьшении \(x\), и функция ведет себя аналогично.

Особо отметим значения функции в точках \(x = \frac{1}{2}\) и \(x = -\frac{1}{2}\). В этих точках подкоренное выражение обращается в ноль: \(\sqrt{2|x| — 1} = \sqrt{0} = 0\), поэтому \(y = |0 — 1| = 1\). При больших по модулю значениях \(x\) выражение под корнем становится существенно больше единицы, и функция возрастает, так как \(\sqrt{2|x| — 1}\) растет быстрее, чем вычитаемая единица. Итоговая формула функции: \(y = |\sqrt{2|x| — 1} — 1|\).

2)

Функция \(y = |\sqrt{|3x + 1|} — 2|\) также сочетает модули и корень, но область определения значительно шире. Подкоренное выражение \(|3x + 1|\) всегда неотрицательно для любых \(x\), так как модуль любого числа не может быть меньше нуля. Следовательно, функция определена на всей числовой прямой, и ограничений на \(x\) нет.

Разберем подробнее поведение функции в зависимости от знака выражения \(3x + 1\). Если \(3x + 1 \geq 0\), то функция принимает вид \(y = |\sqrt{3x + 1} — 2|\). Если \(3x + 1 < 0\), подкоренное выражение раскрывается как \(\sqrt{- (3x + 1)}\), то есть \(y = |\sqrt{-(3x + 1)} — 2|\). В обоих случаях после извлечения корня и вычитания двух результат может быть положительным или отрицательным, но модуль гарантирует неотрицательность значения функции.

Особое значение функция принимает при \(x = -\frac{1}{3}\), так как в этой точке подкоренное выражение равно нулю: \(|3x + 1| = 0\), значит, \(\sqrt{0} = 0\), а \(y = |0 — 2| = 2\). При больших по модулю значениях \(x\) выражение под корнем растет, что приводит к увеличению значения функции, так как \(\sqrt{|3x + 1|}\) становится гораздо больше двух. Итоговая формула: \(y = |\sqrt{|3x + 1|} — 2|\).

3)

Функция \(y = |\sqrt{|x| — 3}|\) отличается наличием только одного модуля и корня, но область определения уже ограничена. Подкоренное выражение \(|x| — 3\) должно быть неотрицательным, то есть \(|x| — 3 \geq 0\), отсюда \(|x| \geq 3\). Это значит, что функция определена только для \(x \geq 3\) и \(x \leq -3\).

Для \(x \geq 3\) функция принимает вид \(y = |\sqrt{x — 3}|\). Здесь \(x — 3\) возрастает при увеличении \(x\), и \(\sqrt{x — 3}\) также возрастает, а модуль не влияет на знак, так как корень из неотрицательного числа всегда неотрицателен. Аналогично, для \(x \leq -3\) имеем \(y = |\sqrt{-x — 3}|\), но здесь \(-x — 3\) также возрастает по модулю при уменьшении \(x\), и функция ведет себя аналогично.

Особо рассмотрим значения функции в точках \(x = 3\) и \(x = -3\). В этих точках подкоренное выражение равно нулю: \(|x| — 3 = 0\), значит, \(\sqrt{0} = 0\), а \(y = |0| = 0\). При увеличении по модулю \(x\) выражение под корнем становится больше, и значение функции возрастает. Итоговая формула: \(y = |\sqrt{|x| — 3}|\).