ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 6.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(|x + 2| — 3 = a — x\) имеет бесконечно много корней?

1. Пусть \(x + 2 \geq 0\), тогда \(|x + 2| = x + 2\). Получаем уравнение:
\((x + 2) — 3 = a — x\)
\(x — 1 = a — x\)
\(2x = a + 1\)
\(x = \frac{a + 1}{2}\)
Это решение существует только при \(x \geq -2\).

2. Пусть \(x + 2 < 0\), тогда \(|x + 2| = -(x + 2)\). Получаем уравнение:
\(- (x + 2) — 3 = a — x\)
\(-x — 2 — 3 = a — x\)
\(-x — 5 = a — x\)
\(-5 = a\)
При \(a = -5\) уравнение выполняется для всех \(x < -2\).

3. Рассмотрим, когда уравнение имеет бесконечно много корней.
Для \(a = -5\) уравнение выполняется для всех \(x < -2\).
Для \(x \geq -2\) решение \(x = \frac{a + 1}{2}\) будет единственным, кроме случая совпадения луча \(x — 1\) с прямой \(a — x\) на всем промежутке \(x \geq -2\), то есть:
\(x — 1 = a — x\)
\(2x = a + 1\)
Чтобы это равенство выполнялось для всех \(x \geq -2\), коэффициенты при \(x\) должны совпадать, то есть:
\(1 = -1\) — неверно, значит такого \(a\) нет.

4. Значит, уравнение имеет бесконечно много корней только при \(a = -5\).

Рассмотрим подробно решение данного уравнения с учетом всех возможных случаев и внимательной детализации каждого шага. Исходное уравнение содержит модуль: \(|x + 2| — 3 = a — x\). Для раскрытия модуля необходимо рассмотреть два случая: когда выражение под модулем неотрицательно (\(x + 2 \geq 0\)), и когда оно отрицательно (\(x + 2 < 0\)). В каждом из этих случаев уравнение принимает разный вид, что влияет на набор решений.

Первый случай: если \(x + 2 \geq 0\), то \(|x + 2| = x + 2\). Подставляем это в исходное уравнение, получаем: \((x + 2) — 3 = a — x\). Преобразуем выражение: \(x + 2 — 3 = a — x\), то есть \(x — 1 = a — x\). Переносим все переменные в одну сторону: \(x — 1 + x = a\), получаем \(2x — 1 = a\). Далее выражаем \(x\) через \(a\): \(2x = a + 1\), следовательно, \(x = \frac{a + 1}{2}\). Однако, это решение допустимо только при условии \(x \geq -2\), что соответствует области определения для данного случая раскрытия модуля. Таким образом, для любого значения \(a\), решение будет единственным и равно \(x = \frac{a + 1}{2}\), если это число удовлетворяет неравенству \(x \geq -2\).

Второй случай: если \(x + 2 < 0\), то \(|x + 2| = -(x + 2)\). Подставляем это выражение в исходное уравнение: \(- (x + 2) — 3 = a — x\). Раскрываем скобки: \(-x — 2 — 3 = a — x\), получаем \(-x — 5 = a — x\). Переносим все переменные в одну сторону: \(-x — 5 + x = a\), то есть \(-5 = a\). Таким образом, для любого значения \(x < -2\), уравнение выполняется только при \(a = -5\). Это означает, что если \(a = -5\), то для всех \(x < -2\) уравнение будет верно, то есть оно имеет бесконечно много решений на этом промежутке. Важно отметить, что для \(a \neq -5\) в этой области решений нет.

Рассмотрим отдельно возможность существования бесконечного множества решений при других значениях параметра \(a\). Для области \(x \geq -2\) уравнение \(x = \frac{a + 1}{2}\) имеет единственное решение, так как оно линейное и коэффициенты при \(x\) не совпадают, то есть нет случая, когда равенство выполнялось бы для всех \(x\) на данном промежутке. Проверим это формально: если бы \(x — 1 = a — x\) выполнялось для всех \(x \geq -2\), то коэффициенты при \(x\) должны быть равны, то есть \(1 = -1\), что невозможно. Следовательно, только при \(a = -5\) уравнение имеет бесконечно много корней, а именно для всех \(x < -2\). В остальных случаях решение единственное или отсутствует вовсе, если оно не попадает в область допустимых значений для соответствующего случая раскрытия модуля.

Таким образом, итоговое множество решений по параметру \(a\) выглядит следующим образом: если \(a = -5\), то множество решений — все \(x < -2\), то есть бесконечно много корней. Для других значений параметра \(a\) решение единственно и имеет вид \(x = \frac{a + 1}{2}\), если оно удовлетворяет условию \(x \geq -2\). Если не удовлетворяет, то решений нет. В случае, когда требуется оформить множество решений в виде таблицы, это можно записать так: