ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 6.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(|x + 2| — 3 = a — x\) имеет бесконечно много корней?

При \(a = -5\) и \(a = 1\) уравнение имеет бесконечно много корней.

1. Пусть \(x + 2 \geq 0\), тогда \(|x + 2| = x + 2\). Получаем уравнение:
\((x + 2) — 3 = a — x\)
\(x — 1 = a — x\)
\(2x = a + 1\)
\(x = \frac{a + 1}{2}\)
Это решение существует только при \(x \geq -2\).

2. Пусть \(x + 2 < 0\), тогда \(|x + 2| = -(x + 2)\). Получаем уравнение:
\(- (x + 2) — 3 = a — x\)
\(-x — 2 — 3 = a — x\)
\(-x — 5 = a — x\)
\(-5 = a\)
При \(a = -5\) уравнение выполняется для всех \(x < -2\).

3. Рассмотрим, когда уравнение имеет бесконечно много корней.
Для \(a = -5\) уравнение выполняется для всех \(x < -2\).
Для \(x \geq -2\) решение \(x = \frac{a + 1}{2}\) будет единственным, кроме случая совпадения луча \(x — 1\) с прямой \(a — x\) на всем промежутке \(x \geq -2\), то есть:
\(x — 1 = a — x\)
\(2x = a + 1\)
Чтобы это равенство выполнялось для всех \(x \geq -2\), коэффициенты при \(x\) должны совпадать, то есть:
\(1 = -1\) — неверно, значит такого \(a\) нет.

4. Значит, уравнение имеет бесконечно много корней только при \(a = -5\).