ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 6.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \(y = |\sqrt{x-1}|\);

2) \(y = \left| \frac{4}{x-2} \right|\);

3) \(y = \left| \frac{x+2}{x-3} \right|\).

1) Строим график \(y = \sqrt{x}\), сдвигаем его на 1 единицу вправо: \(y = \sqrt{x-1}\). Так как значения всегда неотрицательные, модуль не изменяет график. Ответ: график начинается в точке \((1; 0)\) и возрастает вправо.

2) Строим график \(y = \frac{4}{x}\), сдвигаем его на 2 единицы вправо: \(y = \frac{4}{x-2}\). Берём модуль: все значения становятся положительными. Ответ: график состоит из двух ветвей, обе выше оси \(x\), вертикальная асимптота при \(x = 2\).

3) Строим график \(y = \frac{x+2}{x-3}\). Перепишем: \(y = 1 + \frac{5}{x-3}\). Сдвигаем на 3 единицы вправо и на 1 вверх. Берём модуль: все значения становятся положительными. Ответ: график состоит из двух ветвей, обе выше оси \(x\), вертикальная асимптота при \(x = 3\).

1) Рассмотрим функцию \(y = |\sqrt{x-1}|\). Сначала определим область определения: подкоренное выражение \(x-1\) должно быть неотрицательным, то есть \(x-1 \geq 0\), отсюда \(x \geq 1\). Значит, график существует только при \(x \geq 1\). Далее, строим график функции \(y = \sqrt{x-1}\). В точке \(x = 1\) имеем \(y = 0\), при увеличении \(x\) значение \(y\) возрастает, так как корень из большего числа больше. Модуль в данном случае не изменяет график, потому что \(\sqrt{x-1}\) всегда неотрицателен для всех \(x \geq 1\), и отрицательных значений нет. График начинается в точке \((1; 0)\) и плавно возрастает вправо, повторяя форму обычной функции корня.

Если рассмотреть подробнее, для каждого значения \(x\), начиная с \(x = 1\), значение \(y\) будет равно положительному корню из \(x-1\). Например, при \(x = 2\), \(y = \sqrt{2-1} = 1\); при \(x = 5\), \(y = \sqrt{5-1} = 2\). На графике это выглядит как плавная кривая, начинающаяся от точки \((1; 0)\) и идущая вверх вправо. Модуль не влияет на форму, потому что отрицательных значений нет, поэтому график совпадает с графиком функции \(y = \sqrt{x-1}\).

Таким образом, итоговая картинка: график начинается в точке \((1; 0)\), проходит через точки с координатами \((2; 1)\), \((5; 2)\) и далее вправо, не пересекает ось \(x\) нигде, кроме точки начала, и не уходит вниз, потому что значения функции всегда неотрицательны. График расположен только в первой четверти координатной плоскости.

2) Рассмотрим функцию \(y = \left|\frac{4}{x-2}\right|\). Сначала определим область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть \(x-2 \neq 0\), отсюда \(x \neq 2\). Это значит, что график не определён в точке \(x = 2\), там вертикальная асимптота. Построим график функции \(y = \frac{4}{x-2}\) без модуля: при \(x > 2\) числитель положителен, знаменатель положителен, поэтому значение \(y\) положительно; при \(x < 2\) числитель положителен, знаменатель отрицателен, поэтому значение \(y\) отрицательно. Модуль отражает отрицательные значения относительно оси \(x\), то есть все точки, которые были ниже оси, становятся выше.

Для более детального рассмотрения: при \(x\) стремящемся к 2 справа (\(x \to 2^+\)), значение \(y\) стремится к бесконечности, потому что знаменатель становится очень маленьким положительным числом. При \(x\) стремящемся к 2 слева (\(x \to 2^-\)), значение \(y\) тоже стремится к бесконечности, но раньше было отрицательным, а после применения модуля становится положительным. Например, при \(x = 1\), \(y = \left|\frac{4}{1-2}\right| = \left|\frac{4}{-1}\right| = 4\); при \(x = 3\), \(y = \left|\frac{4}{3-2}\right| = \left|\frac{4}{1}\right| = 4\).

В итоге график состоит из двух ветвей: одна для \(x < 2\), вторая для \(x > 2\), обе ветви располагаются выше оси \(x\), нигде не пересекают ось \(x\) и стремятся к нулю при удалении от асимптоты. Вертикальная асимптота находится при \(x = 2\), а горизонтальная асимптота — при \(y = 0\), так как при больших по модулю \(x\) значение дроби стремится к нулю.

3) Рассмотрим функцию \(y = \left|\frac{x+2}{x-3}\right|\). Определим область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть \(x-3 \neq 0\), отсюда \(x \neq 3\). Это значит, что график не определён в точке \(x = 3\), там вертикальная асимптота. Преобразуем выражение: \(x+2 = (x-3) + 5\), тогда \(y = \frac{x-3+5}{x-3} = \frac{x-3}{x-3} + \frac{5}{x-3} = 1 + \frac{5}{x-3}\). Это удобнее для анализа.

Рассмотрим подробнее: при \(x > 3\) значение \(\frac{5}{x-3}\) положительное, поэтому вся функция положительна; при \(x < 3\) значение \(\frac{5}{x-3}\) отрицательное, поэтому вся функция может быть отрицательной. Модуль отражает все отрицательные значения относительно оси \(x\), поэтому график полностью располагается выше оси \(x\). Например, при \(x = 0\), \(y = \left|\frac{0+2}{0-3}\right| = \left|\frac{2}{-3}\right| = \frac{2}{3}\); при \(x = 4\), \(y = \left|\frac{4+2}{4-3}\right| = \left|\frac{6}{1}\right| = 6\).

В результате график состоит из двух ветвей: одна для \(x < 3\), вторая для \(x > 3\), обе ветви выше оси \(x\), нигде не пересекают ось \(x\), при \(x\) стремящемся к 3 слева и справа значения функции стремятся к бесконечности. Вертикальная асимптота находится при \(x = 3\), а горизонтальная асимптота — при \(y = 1\), так как при больших по модулю \(x\) значение дроби стремится к нулю, и вся функция приближается к 1.