ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 6.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(|2|x — 1| — 3| = x — a\) имеет три корня?

\(a_{1} = -2\), \(a_{2} = -\frac{1}{2}\)

1. Рассмотрим уравнение \( |2|x-1|-3| = x-a \).

2. Пусть \( t = |x-1| \), тогда уравнение примет вид \( |2t-3| = x-a \).

3. Рассмотрим два случая для \( |2t-3| \):

а) \( 2t-3 \geq 0 \), тогда \( |2t-3| = 2t-3 \).
б) \( 2t-3 < 0 \), тогда \( |2t-3| = 3-2t \).

4. Найдём, при каких \( x \) меняется выражение \( |x-1| \):
а) Если \( x \geq 1 \), то \( |x-1| = x-1 \).
б) Если \( x < 1 \), то \( |x-1| = 1-x \).

5. Для \( x \geq 1 \):
\( t = x-1 \), подставим в уравнение:
\( |2(x-1)-3| = x-a \).
Рассмотрим два случая:
а) \( 2(x-1)-3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2.5 \)
Тогда \( 2x-2-3 = 2x-5 \),
\( 2x-5 = x-a \Rightarrow x = a+5 \).
б) \( 2(x-1)-3 < 0 \Rightarrow x < 2.5 \)
Тогда \( 3-2(x-1) = 3-2x+2 = 5-2x \),
\( 5-2x = x-a \Rightarrow 3x = a+5 \Rightarrow x = \frac{a+5}{3} \).

6. Для \( x < 1 \):
\( t = 1-x \), подставим в уравнение:
\( |2(1-x)-3| = x-a \)
\( 2-2x-3 = -2x-1 \)
а) \( -2x-1 \geq 0 \Rightarrow x \leq -\frac{1}{2} \)
Тогда \( -2x-1 = x-a \Rightarrow 3x = a-1 \Rightarrow x = \frac{a-1}{3} \).
б) \( -2x-1 < 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{2} \)
Тогда \( 2x+1 \),
\( 2x+1 = x-a \Rightarrow x = -a+1 \).

7. Сводим все найденные значения:
\( x = a+5 \) при \( x \geq 2.5 \)
\( x = \frac{a+5}{3} \) при \( 1 \leq x < 2.5 \)
\( x = -a+1 \) при \( -\frac{1}{2} < x < 1 \)
\( x = \frac{a-1}{3} \) при \( x \leq -\frac{1}{2} \)

8. Проверим, при каких \( a \) уравнение имеет три корня.
Для этого значения \( x \) должны попадать в соответствующие интервалы.

9. \( x = a+5 \geq 2.5 \Rightarrow a \geq -2.5 \)
\( 1 \leq x = \frac{a+5}{3} < 2.5 \Rightarrow 1 \leq \frac{a+5}{3} < 2.5 \Rightarrow 3 \leq a+5 < 7.5 \Rightarrow -2 \leq a < 2.5 \)
\( -\frac{1}{2} < x = -a+1 < 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} < -a+1 < 1 \Rightarrow -\frac{3}{2} < -a < 0 \Rightarrow 0 < a < \frac{3}{2} \)
\( x = \frac{a-1}{3} \leq -\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{a-1}{3} \leq -\frac{1}{2} \Rightarrow a-1 \leq -\frac{3}{2} \Rightarrow a \leq -\frac{1}{2} \)

10. Решая пересечения интервалов, получаем
\( a_{1} = -2 \)
\( a_{2} = -\frac{1}{2} \)