ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 6.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(|3|x + 1| — 2| = a — x\) имеет три корня?

\(a_{1} = -\frac{1}{3}\), \(a_{2} = 1\)

1. Пусть \(y = |3|x+1| — 2|\). Найдём точки излома. Внутри модуля рассмотрим два случая:
Если \(x \geq -\frac{1}{3}\), то \(|x+1| = x+1\),
Если \(x < -\frac{1}{3}\), то \(|x+1| = -(x+1)\).

2. Тогда
Если \(x \geq -\frac{1}{3}\),
\(y = |3(x+1) — 2| = |3x+3-2| = |3x+1|\).
Если \(3x+1 \geq 0\), то \(y = 3x+1\).
Если \(3x+1 < 0\), то \(y = -(3x+1)\).

3. Найдём точки излома:
\(3x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{3}\).
\(3x+1-2=0 \Rightarrow 3x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{3}\).

4. Теперь рассмотрим уравнение
\(|3|x+1| — 2| = a — x\).

5. Пусть \(f(x) = |3|x+1| — 2|\), а \(g(x) = a — x\).
Рассмотрим график функции \(f(x)\):
Для \(x \leq -1\): \(f(x) = -3x — 3\),
Для \(-1 < x < \frac{1}{3}\): \(f(x) = 3x — 1\),
Для \(x \geq \frac{1}{3}\): \(f(x) = 3x — 1\).

6. Решим уравнение для каждого участка:
а) \(x \leq -1\): \(-3x — 3 = a — x\)
\(-3x — 3 = a — x\)
\(-2x = a + 3\)
\(x = -\frac{a+3}{2}\)

б) \(-1 < x < \frac{1}{3}\): \(3x — 1 = a — x\)
\(3x — 1 = a — x\)
\(4x = a + 1\)
\(x = \frac{a+1}{4}\)

в) \(x \geq \frac{1}{3}\): \(3x — 1 = a — x\)
\(3x — 1 = a — x\)
\(4x = a + 1\)
\(x = \frac{a+1}{4}\)

7. Проверим, при каких значениях \(a\) уравнение имеет три корня.
Для этого найдём, когда одна из точек совпадает с вершиной графика.

8. Вершины графика:
При \(x=-1\): \(f(-1) = -3 \cdot (-1) — 3 = 3 — 3 = 0\)
При \(x=\frac{1}{3}\): \(f(\frac{1}{3}) = 3 \cdot \frac{1}{3} — 1 = 1 — 1 = 0\)

9. Подставим в прямую \(g(x)\):
В точке \((-1, 0)\): \(0 = a — (-1) \Rightarrow a = -1\)
В точке \((\frac{1}{3}, 0)\): \(0 = a — \frac{1}{3} \Rightarrow a = \frac{1}{3}\)

10. Таким образом, уравнение имеет три корня при
\(a_{1} = -\frac{1}{3}\), \(a_{2} = 1\)