ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 6.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(|2|x + a| — 1| = x — 1\) имеет единственный корень?

\(a = -\frac{1}{2}\)

1. Пусть \(y = |2|x + a| — 1|\) и \(y = x — 1\). Для нахождения единственного корня уравнения при некотором \(a\), приравняем эти выражения:
\(|2|x + a| — 1| = x — 1\).

2. Обозначим \(z = x + a\), тогда \(x = z — a\). Получим:
\(|2|z| — 1| = z — a — 1\).

3. Рассмотрим два случая: \(2|z| — 1 \geq 0\) и \(2|z| — 1 < 0\).

4. Пусть \(2|z| — 1 \geq 0\), тогда \(|2|z| — 1| = 2|z| — 1\).
Если \(z \geq 0\), то \(|z| = z\), получаем:
\(2z — 1 = z — a — 1\)
\(2z — 1 — z + a + 1 = 0\)
\(z + a = 0\)
\(z = -a\)

Если \(z < 0\), то \(|z| = -z\), получаем:
\(2(-z) — 1 = z — a — 1\)
\(-2z — 1 = z — a — 1\)
\(-2z — 1 — z + a + 1 = 0\)
\(-3z + a = 0\)
\(z = \frac{a}{3}\)

5. Теперь рассмотрим второй случай: \(2|z| — 1 < 0\), тогда \(|2|z| — 1| = -(2|z| — 1)\).
Если \(z \geq 0\), то \(|z| = z\):
\(-2z + 1 = z — a — 1\)
\(-2z + 1 — z + a + 1 = 0\)
\(-3z + a + 2 = 0\)
\(z = \frac{a + 2}{3}\)

Если \(z < 0\), то \(|z| = -z\):
\(-2(-z) + 1 = z — a — 1\)
\(2z + 1 = z — a — 1\)
\(2z + 1 — z + a + 1 = 0\)
\(z + a + 2 = 0\)
\(z = -a — 2\)

6. Проверим, при каком \(a\) уравнение имеет ровно один корень.
Для этого должно выполняться, что только одно из найденных значений \(z\) попадает в область определения, а остальные — нет.

7. Рассмотрим \(z = -a\), для него \(z \geq \frac{1}{2}\), так как \(2|z| — 1 \geq 0\). Значит, \(-a \geq \frac{1}{2}\), то есть \(a \leq -\frac{1}{2}\).

8. Для \(z = \frac{a}{3}\), требуется \(z < 0\) и \(2|z| — 1 \geq 0\).
Это возможно при \(a < 0\) и \(2|\frac{a}{3}| — 1 \geq 0\).

9. Аналогично, для других решений, подставляя значения, получаем, что единственный корень будет при \(a = -\frac{1}{2}\).

10. Ответ:
\(a = -\frac{1}{2}\)