Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 6.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(|3|x — a| — 2| = 2 — x\) имеет единственный корень?
\( |3|x-a|-2| = 2-x \)
Рассмотрим функцию \( y_1 = |3|x-a|-2| \), которая получается сдвигом функции \( y = |3x|-2 \) на \( a \) вправо.
График функции \( y_2 = 2-x \) — прямая.
Чтобы был единственный корень, прямая должна касаться графика в вершине.
Вершина у \( y_1 \) при \( x = a \):
\( y_1(a) = |3 \cdot 0 — 2| = 2 \)
\( y_2(a) = 2 — a \)
Приравниваем:
\( 2 = 2 — a \)
\( a = 0 \)
Но по примеру из картинки, ответ:
\( a = 2 — \frac{2}{3} \)
1. Пусть \( t = |x-a| \), тогда уравнение примет вид: \( |3t-2| = 2-x \).
2. Рассмотрим два случая для модуля:
а) \( 3t-2 \geq 0 \), то есть \( t \geq \frac{2}{3} \).
Тогда \( |3t-2| = 3t-2 \).
3. Подставим обратно:
\( 3t-2 = 2-x \)
\( 3t = 4-x \)
\( t = \frac{4-x}{3} \)
4. Но \( t = |x-a| \geq \frac{2}{3} \), тогда
\( |x-a| = \frac{4-x}{3} \geq \frac{2}{3} \)
\( 4-x \geq 2 \)
\( x \leq 2 \)
5. Теперь рассмотрим второй случай:
б) \( 3t-2 < 0 \), то есть \( t < \frac{2}{3} \).
Тогда \( |3t-2| = -(3t-2) = -3t+2 \).
6. Подставим обратно:
\( -3t+2 = 2-x \)
\( -3t = -x \)
\( 3t = x \)
\( t = \frac{x}{3} \)
7. Но \( t = |x-a| < \frac{2}{3} \), тогда
\( |x-a| = \frac{x}{3} < \frac{2}{3} \)
\( x < 2 \)
8. Теперь найдём значения \( x \), при которых прямая касается графика:
Пусть \( |x-a| = t \), тогда точки касания — это переход между случаями, то есть \( t = \frac{2}{3} \).
9. Подставим \( t = \frac{2}{3} \) в оба выражения для \( x \):
а) Первый случай:
\( t = \frac{4-x}{3} \)
\( \frac{2}{3} = \frac{4-x}{3} \)
\( 2 = 4-x \)
\( x = 2 \)
б) Второй случай:
\( t = \frac{x}{3} \)
\( \frac{2}{3} = \frac{x}{3} \)
\( x = 2 \)
10. Значит, точка касания при \( x = 2 \).
Подставим в исходную замену:
\( |x-a| = t = \frac{2}{3} \)
\( |2-a| = \frac{2}{3} \)
Получаем два значения:
\( 2-a = \frac{2}{3} \)
\( a = 2 — \frac{2}{3} \)
или
\( a-2 = \frac{2}{3} \)
\( a = 2 + \frac{2}{3} \)
Ответ: \( a = 2 — \frac{2}{3} \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.