ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 6.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(|3|x — a| — 2| = 2 — x\) имеет единственный корень?

График \(y = |3|x — a| — 2|\) имеет вершины в точках \(x_1 = a + \frac{2}{3}\) и \(x_2 = a — \frac{2}{3}\).

Для единственного решения требуется касание графика прямой \(y = 2 — x\) в вершине, то есть \(2 — x_2 = 0\), откуда \(x_2 = 2\).

Получаем: \(a — \frac{2}{3} = 2\), значит \(a = 2 + \frac{2}{3}\).

Ответ: \(a = 2 \frac{2}{3}\).

1) Пусть дано уравнение: \( |3|x — a| — 2| = 2 — x \).

2) Рассмотрим график функции \( y = |3|x| — 2| \) и график функции \( y = 2 — x \).

3) График функции \( y = |3|x — a| — 2| \) получается параллельным переносом графика \( y = |3|x| — 2| \) на \( a \) единиц вдоль положительного направления оси абсцисс.

4) Для того чтобы уравнение имело единственный корень, требуется, чтобы прямая \( y = 2 — x \) касалась графика \( y = |3|x — a| — 2| \) в одной точке.

5) Вершины графика \( y = |3|x — a| — 2| \) находятся в точках, где \( 3|x — a| — 2 = 0 \), то есть \( |x — a| = \frac{2}{3} \).

6) Значит, вершины имеют абсциссы \( x_1 = a + \frac{2}{3} \) и \( x_2 = a — \frac{2}{3} \).

7) Пусть касание происходит в вершине \( x_1 = a — \frac{2}{3} \). Подставим это значение в уравнение прямой: \( y = 2 — x_1 \).

8) В вершине значение функции \( y = |3|x — a| — 2| \) равно нулю, то есть \( 2 — x_1 = 0 \), отсюда \( x_1 = 2 \).

9) Получаем: \( a — \frac{2}{3} = 2 \), отсюда \( a = 2 + \frac{2}{3} \).

10) Ответ: \( a = 2 \frac{2}{3} \).