ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 6.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство \(|x| — |x-3| < 2x\).

Если \(x \geq 3\), тогда \(x — (x — 3) \leq 2x\), \(3 \leq 2x\), \(x \geq \frac{3}{2}\).

Если \(0 \leq x < 3\), тогда \(x + (x — 3) \leq 2x\), \(2x — 3 \leq 2x\), \(-3 \leq 0\), \(x \in \mathbb{R}\).

Если \(x < 0\), тогда \(-x + (x — 3) \leq 2x\), \(-3 \leq 2x\), \(x \geq -\frac{3}{2}\).

Ответ: \(x \in \left[ -\frac{3}{2}; +\infty \right)\)

1. Пусть \(x \geq 3\). Тогда \(|x| = x\) и \(|x — 3| = x — 3\). Подставляем в неравенство:
\(x — (x — 3) \leq 2x\)
\(x — x + 3 \leq 2x\)
\(3 \leq 2x\)
\(x \geq \frac{3}{2}\).
Так как рассматриваем \(x \geq 3\), это условие выполняется для всех \(x \geq 3\).

2. Пусть \(0 \leq x < 3\). Тогда \(|x| = x\), \(|x — 3| = 3 — x\). Подставляем:
\(x — (3 — x) \leq 2x\)
\(x — 3 + x \leq 2x\)
\(2x — 3 \leq 2x\)
\(-3 \leq 0\)
Это верно для любого \(x\), значит, подходят все \(x\) из промежутка \(0 \leq x < 3\).

3. Пусть \(x < 0\). Тогда \(|x| = -x\), \(|x — 3| = 3 — x\). Подставляем:
\(-x — (3 — x) \leq 2x\)
\(-x — 3 + x \leq 2x\)
\(-3 \leq 2x\)
\(x \geq -\frac{3}{2}\)
Так как рассматриваем \(x < 0\), получаем \(x \in \left[-\frac{3}{2}; 0\right)\).

Ответ: \(x \in \left[-\frac{3}{2}; +\infty\right)\)