ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 6.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение \(x^2 + \frac{9x^2}{(x+3)^2} = 7\).

\(x^2 + \frac{9x^2}{(x+3)^2} = 7\)

\(x^2(x+3)^2 + 9x^2 = 7(x+3)^2\)

\(x^2(x^2 + 6x + 9) + 9x^2 = 7(x^2 + 6x + 9)\)

\(x^4 + 6x^3 + 9x^2 + 9x^2 = 7x^2 + 42x + 63\)

\(x^4 + 6x^3 + 18x^2 — 7x^2 — 42x — 63 = 0\)

\(x^4 + 6x^3 + 11x^2 — 42x — 63 = 0\)

\((x^2 — x — 3)(x^2 + 7x + 21) = 0\)

\(x^2 — x — 3 = 0\)

\(D = 1^2 + 4 \cdot 3 = 13\)

\(x_1 = \frac{1 — \sqrt{13}}{2}\)

\(x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\)

\(x^2 + 7x + 21 = 0\)

\(D = 7^2 — 4 \cdot 21 = -35\)

\(x \in \emptyset\)

Ответ: \(\frac{1 — \sqrt{13}}{2}; \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\)

1. Запишем уравнение:
\(x^2 + \frac{9x^2}{(x+3)^2} = 7\)

2. Умножим обе части на \((x+3)^2\), чтобы избавиться от дроби:
\(x^2(x+3)^2 + 9x^2 = 7(x+3)^2\)

3. Раскроем скобки:
\(x^2(x^2 + 6x + 9) + 9x^2 = 7(x^2 + 6x + 9)\)

4. Перемножим и приведём подобные:
\(x^4 + 6x^3 + 9x^2 + 9x^2 = 7x^2 + 42x + 63\)

5. Перенесём всё в одну сторону:
\(x^4 + 6x^3 + 18x^2 — 7x^2 — 42x — 63 = 0\)

6. Сложим и вычтем подобные:
\(x^4 + 6x^3 + 11x^2 — 42x — 63 = 0\)

7. Разложим на множители:
\((x^2 — x — 3)(x^2 + 7x + 21) = 0\)

8. Решим первое уравнение:
\(x^2 — x — 3 = 0\)
Дискриминант: \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13\)
Корни:
\(x_1 = \frac{1 — \sqrt{13}}{2}\)
\(x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\)

9. Решим второе уравнение:
\(x^2 + 7x + 21 = 0\)
Дискриминант: \(D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 21 = 49 — 84 = -35\)
Корней нет, так как дискриминант отрицательный.
\(x \in \emptyset\)

10. Ответ:
\(\frac{1 — \sqrt{13}}{2}; \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\)