ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 6.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

О функции \(y = f(x)\) известно, что \(D(f) = \mathbb{R}\), числа \(-3\) и \(2\) являются её нулями, \(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)\). Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции: 1) \(y = f(x)\); 2) \(y = |f(x)|\).

Нули функции: \(x = -3\), \(x = 2\)

Знаки:
\(f(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)\)
\(f(x) < 0\) при \(x \in (-3; 2)\)

Нули функции: \(x = -3\), \(x = 2\)

Знаки:
\(|f(x)| > 0\) при \(x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 2) \cup (2; +\infty)\)
\(|f(x)| = 0\) при \(x = -3\), \(x = 2\)

Рассмотрим функцию \(f(x)\), у которой есть два нуля: \(x = -3\) и \(x = 2\). Это означает, что при этих значениях аргумента функция принимает значение ноль. Для того чтобы найти знаки функции на разных промежутках, нужно определить, где функция положительна, а где отрицательна. Обычно, если функция представлена в виде произведения двух множителей, например, \(f(x) = (x + 3)(x — 2)\), то нули находятся при \(x + 3 = 0\) и \(x — 2 = 0\), то есть \(x = -3\) и \(x = 2\). Теперь рассмотрим интервалы, которые образуются этими нулями: \(x \in (-\infty; -3)\), \(x \in (-3; 2)\), \(x \in (2; +\infty)\).

На первом промежутке \(x \in (-\infty; -3)\) оба множителя отрицательны: \(x + 3 < 0\) и \(x — 2 < 0\). Произведение двух отрицательных чисел положительно, значит \(f(x) > 0\) на этом промежутке. На втором промежутке \(x \in (-3; 2)\) первый множитель \(x + 3\) уже положителен, а второй \(x — 2\) ещё отрицателен. Произведение положительного и отрицательного числа отрицательно, следовательно, \(f(x) < 0\) на промежутке \(x \in (-3; 2)\). На третьем промежутке \(x \in (2; +\infty)\) оба множителя положительны, их произведение также положительно, поэтому \(f(x) > 0\) на промежутке \(x \in (2; +\infty)\).

Теперь рассмотрим модуль функции, то есть \(|f(x)|\). Модуль функции всегда неотрицателен, и его нули совпадают с нулями самой функции: \(|f(x)| = 0\) при \(x = -3\) и \(x = 2\). На всех остальных промежутках модуль функции положителен, так как он равен либо самому значению функции, если оно положительно, либо противоположному значению, если оно отрицательно. То есть, для всех \(x\), кроме \(x = -3\) и \(x = 2\), выполняется \(|f(x)| > 0\). Это значит, что \(|f(x)| > 0\) при \(x \in (-\infty; -3)\), \(x \in (-3; 2)\), \(x \in (2; +\infty)\), а \(|f(x)| = 0\) только при \(x = -3\) и \(x = 2\).

Для наглядности оформим результат в таблице, чтобы было видно, как меняются знаки функции и её модуля на разных промежутках: