ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 7.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Определите направление ветвей и координаты вершины параболы: 1) \(y = x^2 — 12x + 3\); 2) \(y = -5x^2 + 10x + 2\).

1) \(y = x^2 — 12x + 3\)
\(a = 1 > 0\) — ветви вверх
\(x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6\)
\(y_0 = 6^2 — 12 \cdot 6 + 3 = 36 — 72 + 3 = -33\)
вверх; \( (6; -33) \)

2) \(y = -5x^2 + 10x + 2\)
\(a = -5 < 0\) — ветви вниз
\(x_0 = -\frac{10}{2 \cdot (-5)} = -\frac{10}{-10} = 1\)
\(y_0 = -5 \cdot 1^2 + 10 \cdot 1 + 2 = -5 + 10 + 2 = 7\)
вниз; \( (1; 7) \)

Рассмотрим первое уравнение \(y = x^2 — 12x + 3\) максимально подробно. Это квадратная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент перед \(x^2\) равен \(a = 1\), что указывает на то, что ветви параболы направлены вверх, поскольку знак коэффициента положительный. Для нахождения координат вершины параболы воспользуемся формулами: абсцисса вершины находится по формуле \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), где \(b = -12\), \(a = 1\), поэтому \(x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6\). Ордината вершины вычисляется подстановкой найденного значения абсциссы обратно в исходное уравнение: \(y_0 = (6)^2 — 12 \cdot 6 + 3 = 36 — 72 + 3 = -33\). Таким образом, вершина параболы имеет координаты \((6; -33)\). Это точка минимума, так как ветви параболы направлены вверх.

Аналогично подробно рассмотрим второе уравнение \(y = -5x^2 + 10x + 2\), где коэффициент \(a = -5\) отрицателен, значит ветви параболы направлены вниз. Абсцисса вершины вычисляется по той же формуле: \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), где \(b = 10\), \(a = -5\), поэтому \(x_0 = -\frac{10}{2 \cdot (-5)} = -\frac{10}{-10} = 1\). Ордината вершины: \(y_0 = -5 \cdot (1)^2 + 10 \cdot 1 + 2 = -5 + 10 + 2 = 7\). Вершина параболы находится в точке \((1; 7)\), и это точка максимума, так как ветви параболы направлены вниз.

Для более глубокой детализации сравним свойства обеих парабол. У первой параболы коэффициент \(a\) положителен, поэтому она имеет минимум в вершине, а у второй — максимум. Формула для вершины параболы одинакова для любого квадратного уравнения вида \(y = ax^2 + bx + c\): абсцисса вершины \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), ордината вершины \(y_0 = a(x_0)^2 + b x_0 + c\). В обеих задачах использована подстановка значения \(x_0\) в исходное уравнение для точного нахождения \(y_0\). Вершина параболы всегда является либо максимумом, либо минимумом функции, в зависимости от знака коэффициента \(a\). Если \(a > 0\), то функция достигает минимума, если \(a < 0\), то максимума. Это фундаментальное свойство квадратных функций, определяющее форму их графика и положение экстремума.